math.txt

Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne 0, b\) – числа. Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).   Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne 0,b,c\) – числа. Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:   \(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня \[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\] \(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих) \[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\] \(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.   \(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:   Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения \[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\] а произведение \[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\] \(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:   \(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).   \(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).   \(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.   \(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:   \[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]