Bezier 和 B 样条曲线不能表示圆锥 conic 曲线（椭圆/圆 ellipse/circles，双曲线 hyperbolas）
Quadrics and Conics
圆锥曲线可以表示为二次函数的零集 $$ \begin{aligned} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f&=0\ \pmb{x}^\top\left[\begin{matrix} a & \frac{b}{2}\ \frac{b}{2} & c \end{matrix}\right] \pmb{x} + \left[\begin{matrix} d & e \end{matrix}\right] \pmb{x} +f=0 \end{aligned} $$
示例
圆锥的隐式表示
$Ax^2+By^2=z^2$ 平面的隐式表示
$z=Dx+Ey+F$ 圆锥曲线
$Ax^2+By^2=(Dx+Ey+F)^2$
二次曲线是二次方程（任意维数）的零集
$$
{\pmb{x}\in \mathbb{R}^d|\pmb{x}^\top M \pmb{x}+\pmb{b}^\top \pmb{x}+\pmb{c}=0}
$$
圆锥曲线是
记（$a>0$） $$ M\triangleq \left[\begin{matrix} a & \frac{b}{2} \ \frac{b}{2} & c \end{matrix}\right] $$ M 的特征值为 $$ \lambda_{1,2}=\frac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2} $$
推导 $$ \begin{aligned} \det(\lambda I-M) &= 0\ \left|\begin{matrix} \lambda - a & -\frac{b}{2}\ -\frac{b}{2} & \lambda - c\ \end{matrix}\right| &= 0\ (\lambda-a)(\lambda - c)-\frac{b^2}{4} &= 0\ \lambda^2-(a+c)\lambda+ac-\frac{b^2}{4} &= 0 \end{aligned} $$ 则 $$ \begin{aligned} \lambda &= \frac{a+c\pm\sqrt{(a+c)^2-4\left(ac-\frac{b^2}{4}\right)}}{2}\ &= \frac{a+c\pm\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}\ \end{aligned} $$ 记 $$ \begin{aligned} \lambda_1&=\frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}\ \lambda_2&=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}\ \end{aligned} $$
- 椭圆：$b^2<4ac$
- 圆：$b=0$，$a=c$
- 抛物线 parabola：$b^2=4ac$
- 双曲线：$b^2>4ac$
推导
存在可逆正交矩阵
$D$ ，使得 $$ M=D^\top \left[\begin{matrix} \lambda_1 & \ &\lambda _2 \end{matrix}\right] D $$ 则 $$ \begin{aligned} &\pmb{x}^\top M \pmb{x}+\pmb{b}^\top \pmb{x}+\pmb{c}\ =&\pmb{x}^\top M \pmb{x}+\pmb{b}^\top \pmb{x}+\pmb{c}\ =&\pmb{x}^\top D^\top \left[\begin{matrix} \lambda_1 & \ &\lambda _2 \end{matrix}\right] D\pmb{x} +\pmb{b}^\top \pmb{x}+\pmb{c}\ \xlongequal{\pmb{y=D\pmb{x}}}&\pmb{y}^\top \left[\begin{matrix} \lambda_1 & \ &\lambda _2 \end{matrix}\right] \pmb{y}+\pmb{b}^\top D^\top\pmb{y}+\pmb{c}\ \end{aligned} $$ 因此圆锥曲线的类型取决于$\lambda_1$ 和$\lambda_2$ 的符号，下边探讨若
$c\ge0$ ，则$\lambda_1>0$ ，若$c<0$ ，则 $$ \lambda_1\ge \frac{a+c+a-c}{2} = a > 0 $$ 故$\lambda_1 > 0$
- 抛物线
$b^2=4ac$ ：$\lambda_2=0$- 椭圆
$b^2<4ac$ ：$\lambda_2 > 0$- 双曲线
$b^2>4ac$ ：$\lambda_2 < 0$
给定一条空间二次曲线，将
空间二次曲线为 $$ \pmb{f} ^ { ( h o m ) } ( t ) = \pmb{p} _ { 0 } + t \pmb{p} _ { 1 } + t ^ { 2 } \pmb{p} _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 0 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 0 } \cdot y } \ { \pmb{p} _ { 0 } \cdot \omega } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 1 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 1 } \cdot y } \ { \pmb{p} _ { 1 } \cdot \omega } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 2 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 2 } \cdot y } \ { \pmb{p} _ { 2 } \cdot \omega } \end{array} \right) $$
投影曲线 $$ \pmb{f} ^ { ( e u c l ) } ( t ) = \frac { \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 0 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 0 } \cdot y } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 1 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 1 } \cdot y } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { \pmb{p} _ { 2 } \cdot x } \ { \pmb{p} _ { 2 } \cdot y } \end{array} \right) } { \pmb{p} _ { 0 } \cdot \omega + t \pmb{p} _ { 1 } \cdot \omega + t ^ { 2 } \pmb{p} _ { 2 } \cdot \omega } $$
齐次 homogeneous
欧式 euclidean
对于 $$ y=x^2 $$ 参数化为 $$ \left{\begin{array}{l} x=t\ y=t^2 \end{array}\right. $$ 则 $$ \pmb{p}_0=\left[\begin{matrix} 0\ 0\ 1 \end{matrix}\right], \pmb{p}_1=\left[\begin{matrix} 1\ 0\ 0 \end{matrix}\right], \pmb{p}_2=\left[\begin{matrix} 0\ 1\ 0 \end{matrix}\right] $$ 故 $$ \pmb{f} ^ { ( e u c l ) } ( t ) = \frac { \left( \begin{array} { c } { 0 } \ { 0 } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { 1 } \ { 0 } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { 0 } \ { 1 } \end{array} \right) } { 1 + 0 t + 0 t ^ { 2 } }=\left( \begin{array} { c } { t } \ { t^2 } \ { 1 } \end{array} \right) $$
对于
$$
x^2+y^2=1
$$
参数化为
$$
\left{\begin{array}{l}
x=\cos\varphi=\frac{1-\tan^2\frac{\varphi}{2}}{1+\tan^2\frac{\varphi}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\
y=\sin\varphi=\frac{2\tan\frac{\varphi}{2}}{1+\tan^2\frac{\varphi}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}\
\end{array}\right.
$$
其中
则 $$ \pmb{p}_0=\left[\begin{matrix} 1\ 0\ 1 \end{matrix}\right], \pmb{p}_1=\left[\begin{matrix} 0\ 2\ 0 \end{matrix}\right], \pmb{p}_2=\left[\begin{matrix} -1\ 0\ 1 \end{matrix}\right] $$ 故 $$ \pmb{f} ^ { ( e u c l ) } ( t ) = \frac { \left( \begin{array} { c } { 1 } \ { 0 } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { 0 } \ { 2 } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { -1 } \ { 0 } \end{array} \right) } { 1 + 0 t + 1 t ^ { 2 } }=\left( \begin{array} { c } { 1-t^2 } \ { 2t } \ { 1+t^2 } \end{array} \right) $$
对于
$$
x^2-y^2=1
$$
参数化为
$$
\left{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{\cos\varphi}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\
y=\tan \varphi = \frac{2t}{1-t^2}
\end{array}\right.
$$
其中
则 $$ \pmb{p}_0=\left[\begin{matrix} 1\ 0\ 1 \end{matrix}\right], \pmb{p}_1=\left[\begin{matrix} 0\ 2\ 0 \end{matrix}\right], \pmb{p}_2=\left[\begin{matrix} 1\ 0\ -1 \end{matrix}\right] $$ 故 $$ \pmb{f} ^ { ( e u c l ) } ( t ) = \frac { \left( \begin{array} { c } { 1 } \ { 0 } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { 0 } \ { 2 } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \ { 0 } \end{array} \right) } { 1 + 0 t - 1 t ^ { 2 } }=\left( \begin{array} { c } { 1+t^2 } \ { 2t } \ { 1-t^2 } \end{array} \right) $$
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { f } ^ { ( e u c l ) } ( t ) &= \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { n } B _ { i } ^ { ( d ) } ( t ) \omega _ { i } \left( \begin{array} { c } { p _ { i } ^ { ( 1 ) } } \ { \cdots } \ { p _ { i } ^ { ( n ) } } \end{array} \right) } { \sum _ { i = 0 } ^ { n } B _ { i } ^ { ( d ) } ( t ) \omega _ { i } }\
&=\sum_{i=0}^n q_i(t) \pmb{p}i\
\end{aligned}
$$
其中 $q_i(t)=\frac{B_i(t)^{(d)}\omega_i}{\sum{j=0}^nB_j(t)^{(d)}\omega_j}$，满足
几何解释
“正常的”（$\mathbb{R}^{n+1}$ 上的）Bezier 曲线通过中心投影得到有理 Bezier 样条
权重与移动的比较
示例
三种方法
-
在
$n+1$ 维上计算，最后投影：$\boldsymbol { b } _ { i } ^ { ( r ) } ( t ) = ( 1 - t ) \boldsymbol { b } _ { i } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) + t \boldsymbol { b } _ { i + 1 } ^ { ( r - 1 ) } ( t )$ -
分别计算分子和分母，然后相除：类似于上一种
-
每一个步骤相除 $$ \begin{aligned} \boldsymbol { b } _ { i } ^ { ( r ) } ( t ) = ( & 1 - t ) \frac { \omega _ { i } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) } { \omega _ { i } ^ { ( r ) } ( t ) } \boldsymbol { b } _ { i } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) + t \frac { \omega _ { i + 1 } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) } { \omega _ { i } ^ { ( r ) } ( t ) } \boldsymbol { b } _ { i + 1 } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) \ & \text { with } \quad \omega _ { i } ^ { ( r ) } ( t ) = ( 1 - t ) \omega _ { i } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) + t \omega _ { i + 1 } ^ { ( r - 1 ) } ( t ) \end{aligned} $$
这种方法很傻其实，每次除了权重之后，下一次又乘了回去
综合来看第一种最简单
二次有理曲线对于表达圆锥曲线是充足且必要的
其中一个权重不为零，分子分母同时除以它则可以消去一个自由度（对曲线无影响）
只关心曲线形状，可以通过重参数化移除一个自由度
$$
t=\frac{\tilde{t}}{\alpha(1-\tilde{t})+\tilde{t}}
$$
形状只与
这样标准形式变为 $$ \begin{aligned} f ^ { ( e u c l ) } ( t ) =& \frac { \left( \frac { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \omega _ { 0 } \boldsymbol { p } _ { 0 } + 2 \left( \frac { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) \left( \frac { \tilde { t } } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) \omega _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 1 } + \left( \frac { \tilde { t } } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \omega _ { 2 } \boldsymbol { p } _ { 2 } }{ \left( \frac { \alpha ( 1 - \tilde { t } )} { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \omega _ { 0 } + 2 \left( \frac { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) \left( \frac { \tilde { t } } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) \omega _ { 1 } + \left( \frac { \tilde { t } } { \alpha ( 1 - \tilde { t } ) + \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \omega _ { 2 } }\ = &\frac { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \tilde { t } ) ^ { 2 } \omega _ { 0 } \boldsymbol { p } _ { 0 } + 2 \alpha ( 1 - \tilde { t } ) \tilde { t } \omega _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 1 } + \tilde { t } ^ { 2 } \omega _ { 2 } \boldsymbol { p } _ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \tilde { t } ) ^ { 2 } \omega _ { 0 } + 2 \alpha ( 1 - \tilde { t } ) \tilde { t } \omega _ { 1 } + \tilde { t } ^ { 2 } \omega _ { 2 } }\ = &\frac { \alpha ^ { 2 } B_0^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 0 } \boldsymbol { p } _ { 0 } + \alpha B_1^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } \boldsymbol { p } _ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } B_0^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 0 } + \alpha B_1^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } }\ \xlongequal{\alpha=\sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_0}}}&\frac { B_0^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } \boldsymbol { p } _ { 0 } + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_0}} \omega _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } \boldsymbol { p } _ { 2 } } { B_0^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_0}} \omega _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \omega _ { 2 } }\ =&\frac { B_0^{(2)}(\tilde{t})\boldsymbol { p } _ { 0 } + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \sqrt{\frac{1}{\omega_0\omega_2}} \omega _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \boldsymbol { p } _ { 2 } } { B_0^{(2)}(\tilde{t}) + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \sqrt{\frac{1}{\omega_0\omega_2}} \omega _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) }\ \xlongequal{\omega=\sqrt{\frac{1}{\omega_0\omega_2}}\omega_1}&\frac { B_0^{(2)}(\tilde{t})\boldsymbol { p } _ { 0 } + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \omega \boldsymbol { p } _ { 1 } + B_2^{(2)}(\tilde{t}) \boldsymbol { p } _ { 2 } } { B_0^{(2)}(\tilde{t}) + B_1^{(2)}(\tilde{t}) \omega + B_2^{(2)}(\tilde{t}) } \end{aligned} $$ 这个就是二次有理 Bezier 曲线的标准形式
-
$\omega < 1$ ：椭圆曲线 -
$\omega=1$ ：抛物线 -
$\omega>1$ ：双曲线
推导
将参数形式转换成隐式形式，将曲线表示成重心坐标 $$ \pmb{f}(t)=\tau_0(t)\pmb{p}_0+\tau_1(t)\pmb{p}_1+\tau_2(t)\pmb{p}_2 $$
$\tau_0$ 和$\tau_1$ 就相当于$x$ 和$y$ ，两者可以用一个可逆变换相互转换
当$\text{angle}(\pmb{p}_0,\pmb{p}_1,\pmb{p}_2)=90^\circ$ 时，该变化是正交的所以下边就探究
$\tau_0$ 和$\tau_1$ 满足的隐式方程对比二次有理曲线，可知 $$ \begin{array}{lll} \tau_0(t) &= \frac{(1-t)^2\omega_0}{\omega(t)} &\Rightarrow 1-t=\sqrt{\frac{\tau_0(t)\omega(t)}{\omega_0}}\ \tau_1(t) &= \frac{2t(1-t)\omega_1}{\omega(t)}\ \tau_2(t) &= \frac{t^2\omega_2}{\omega(t)} &\Rightarrow t=\sqrt{\frac{\tau_2(t)\omega(t)}{\omega_2}}\ \end{array} $$ 其中 $$ \omega(t)=(1-t)^2\omega_0+2t(1-t)\omega_1+t^2\omega_2 $$ 则 $$ \tau_1(t) =2\frac{\omega_1}{\omega(t)}\sqrt{\frac{\tau_0(t)\omega(t)}{\omega_0}\frac{\tau_2(t)\omega(t)}{\omega_2}} =2\omega_1\sqrt{\frac{\tau_0(t)\tau_2(t)}{\omega_0\omega_2}} $$ 故 $$ \begin{aligned} \omega_0\omega_2\tau_1^2(t) &=4\omega_1^2\tau_0(t)\tau_2(t)\ &=4\omega_1^2\tau_0(t)(1-\tau_0(t)-\tau_2(t))\ \end{aligned} $$ 整理可得 $$ 4\omega_1^2\tau_0^2(t)+4\omega_1^2\tau_0(t)\tau_1(t)+\omega_0\omega_2\tau_1^2(t)-4\omega_1^2\tau_0(t)=0 $$ 对于标准形式
$\omega_0=\omega_2=1$ ，$\omega_1=\omega$，则 $$ 4\omega^2\tau_0^2(t)+4\omega^2\tau_0(t)\tau_1(t)+\tau_1^2(t)-4\omega^2\tau_0(t)=0 $$ 则（参考 [07.1.2 圆锥曲线类型](#07.1.2 圆锥曲线类型)） $$ \lambda_{1,2}=\frac{4\omega^2+1\pm\sqrt{(4\omega^2-1)^2+16\omega^4}}{2} $$
$\omega=1$ ：抛物线$\omega<1$ ：椭圆$\omega>1$ ：双曲线
对偶段为
代入标准形式可得 $$ \begin{aligned} \pmb{x}(\hat{t})&= \frac { ( 1 - \hat { t } ) ^ { 2 } \pmb{p} _ { 0 } + 2 \hat { t } ( 1 - \hat { t } ) \omega \pmb{p} _ { 1 } + \hat { t } ^ { 2 } \pmb{p} _ { 2 } } { ( 1 - \hat { t } ) ^ { 2 } + 2 \hat { t } ( 1 - \hat { t } ) \omega + \hat { t } ^ { 2 } }\ &= \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } \pmb{p} _ { 0 } - 2 t ( 1 - t ) \omega \pmb{p} _ { 1 } + t ^ { 2 } \pmb{p} _ { 2 } } { ( 1 - t ) ^ { 2 } - 2 t ( 1 - t ) \omega + t ^ { 2 } }\end{aligned} $$
仅是
考虑分母等于
这是一个抛物线，可推得
-
$\omega<1$ ：没有奇异点（零点），椭圆 -
$\omega=1$ ：一个奇异点，抛物线 -
$\omega>1$ ：两个奇异点，双曲线
控制点满足
$|\pmb{b}_1-\pmb{b}_0|=|\pmb{b}_1-\pmb{b}_2|$ $\text{dot}(\pmb{b_1}-\pmb{b_0},\pmb{b_2}-\pmb{b_0})=\text{dot}(\pmb{b_1}-\pmb{b_2},\pmb{b_0}-\pmb{b_2})=\cos\alpha$
则
$$ \begin{aligned} \overline{\pmb{f}i} &=\frac{1}{2}(\overline{\pmb{b}i}+\overline{\pmb{b}{i+1}})\ \pmb{f}i&=\frac{\omega_ib_i+\omega{i+1}b{i+1}}{\omega_i+\omega_{i+1}} \end{aligned} $$
满足关系
$$
\frac { \omega _ { i + 1 } } { \omega _ { i } } = \frac { \left| \pmb{b} _ { i } - \pmb{f} _ { i } \right| } { \left| \pmb{b} _ { i + 1 } - \pmb{f} _ { i } \right| }
$$
对于标准形式
$$
\pmb{q} _ { 0 } = \frac { \pmb{p} _ { 0 } + \omega _ { 1 } \pmb{p} _ { 1 } } { 1 + \omega _ { 1 } } , \pmb{q} _ { 1 } = \frac { \pmb{p} _ { 1 } + \omega _ { 1 } \pmb{p} _ { 2 } } { 1 + \omega _ { 1 } }
$$
-
端点插值
-
凸包 $(\pmb{b}_0,\pmb{f}0,\dots,\pmb{f}{n-1},\pmb{b}_n)$ 内
-
导数 $$ \begin{aligned} \pmb{f}(t)&=\frac{\sum_{i=0}^n B^{(d)}i(t)\omega_i\pmb{p}i}{\sum{i=0}^n B^{(d)}i(t)\omega_i}\triangleq\frac{\pmb{p}(t)}{\omega(t)}\ \pmb{f}^\prime(t) &=\frac{\pmb{p}^\prime(t)\omega(t)-\omega^\prime(t)\pmb{p}(t)}{\omega^2(t)}\ &=\frac{\pmb{p}^\prime(t)-\omega^\prime(t)\pmb{f}(t)}{\omega(t)}\ \pmb{f}^\prime(0)&=\frac{d(\omega_1\pmb{p}1-\omega_0\pmb{p}0)-d(\omega_1-\omega_0)\pmb{p}0}{\omega_0}=d\frac{\omega_1}{\omega_0}(\pmb{p}1-\pmb{p}0)\ \pmb{f}^\prime(1)&=\frac{d(\omega{d}\pmb{p}{d}-\omega{d-1}\pmb{p}{d-1})-d(\omega{d}-\omega{d-1})\pmb{p}{d}}{\omega_d}=d\frac{\omega_{d-1}}{\omega_d}(\pmb{p}d-\pmb{p}{d-1})\ \end{aligned} $$
Non-Uniform Rational B-Splines
类似于有理 Bezier 曲线