定义 9.1 设给定节点
$$
t_1\le t_2\le \dots\le t_{r+1}=
\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1}
< \dots<\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d},\quad \sum_{i=1}^d l_i=r+1
$$
和函数
存在唯一的
插值条件
定理 9.1
由 Newton 插值法易知
证明
（数学归纳法）
- 当
$r=1$ 时
- 若
$t_1<t_2$
$$ p_1(x)=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}(x-t_1)+f(t_1) $$ 一次项系数为 $$ \frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=[t_1,t_2]f $$
- 若
$t_1=t_2$
$$ p_1(x)=f^\prime(t_1)(x-t_1)+f(t_1) $$ 一次项系数为 $$ f^\prime(t_1)=[t_1,t_2]f $$
综合以上两点知
$r=1$ 时定理成立
- 设次数为
$r$ 时定理成立，即在$t_1,\dots,t_r$ 插值于$f$ 的$r-1$ 次多项式$p_{r-1}(x)$ 的$x^{r-1}$ 项系数为$[t_1,\dots,t_r]f$ ；在$t_2,\dots,t_{r+1}$ 插值于$f$ 的$r-1$ 次多项式$q_{r-1}(x)$ 的$x^{r-1}$ 项系数为$[t_2,\dots,t_{r+1}]f$
- 当
$t_1< t_{r+1}$ 时
$$ p_r(x)=\frac{(x-t_1)q_{r-1}(x)+(t_{r+1}-x)p_{r-1}(x)}{t_{r+1}-t_1} $$ 为
$r$ 次的$x^r$ 系数为 $$ \frac{[t_2,\dots,t_{r+1}]f-[t_1,\dots,t_r]f}{t_{r+1}-t_1}=[t_1,\dots,t_{r+1}]f $$ 的多项式，且由于 $$ \begin{aligned} &D^{j-1}p_r(\tau_i)\ =&\frac{1}{t_{r+1}-t_1}\Big((j-1)D^{j-2}q_{r-1}(\tau_i)+(\tau_i-t_1)D^{j-1}q_{r-1}(\tau_i)\ &+(t_{r+1}-\tau_i)D^{j-1}p_{r-1}(\tau_i)-(j-1)D^{j-2}p_{r-1}(\tau_i)\Big)\ =&D^{j-1}f(\tau_i)\quad(i=1,\dots,d;j=1,\dots,l_i) \end{aligned} $$ 故$p_r(x)$ 在${t_i}_{i=1}^{r+1}$ 上插值于函数$f$
- 当
$t_1=t_{r+1}$ 时
$$ p_r(x)=p_{r-1}(x)+\frac{f^{(r)}(t_1)}{r!}(x-t_1)^r $$ 的
$x^r$ 项系数为 $$ \frac{f^{(r)}(t_1)}{r!}=[t_1,\dots,t_{r+1}]f $$综合以上两点知次数为
$r+1$ 时定理也成立综上，由归纳法知定理成立
定义矩阵 $$ M \left( \begin{array} { l l l } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { D u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { D u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { D u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { u _ { 1 } \left( \tau _ { d } \right) } & { u _ { 2 } \left( \tau _ { d } \right) } & { \cdots } & { u _ { m } \left( \tau _ { d } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { 1 } \left( \tau _ { d } \right) } & { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { 2 } \left( \tau _ { d } \right) } & { \cdots } & { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { m } \left( \tau _ { d } \right) } \end{array} \right) $$ 以及相应行列式 $$ D \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right) = \operatorname { det } M \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right) $$ 推论 9.1 $$ \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \frac { D \left( \begin{array} { c c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r } , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r - 1 } , } & { f } \end{array} \right) } { V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) } $$ 其中 $V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) = D \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r } } \end{array} \right)$ 为 Vandermonde 行列式
证明
插值多项式
$p_r(x)=\sum_{i=0}^r c_i x^i$ ，插值条件对应方程组的矩阵形式为 $$ M \left( \begin{array} { l l l } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r+1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^r } \end{array} \right) \left(\begin{matrix} c_0\c_1\\vdots\c_r \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} f(\tau_1)\\vdots\D^{l_1-1}f(\tau_1)\\vdots\f(\tau_d)\\vdots\D^{l_d-1}f(\tau_d) \end{matrix}\right) $$由 Cramer 法则得 $$ [t_1,\dots,t_{r+1}]f=c_r=\frac{ D\left( \begin{array} { l l l } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r }, } & { t _ { r + 1 } }\ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^r, } & { f } \end{array} \right) } { D \left( \begin{array} { l l l } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r+1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^r } \end{array} \right) } $$
推论 9.2
证明
$p_r$ 是在${t_i}_{i=1}^{r+1}$ 上的插值于函数$f$ 的$r$ 次多项式
$q_r$ 是在${t_i}_{i=1}^{r+1}$ 上的插值于函数$g$ 的$r$ 次多项式则
$\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R}$ ，$\alpha p_r+\beta q_r$ 是在${t_i}_{i=1}^{r+1}$ 上的插值于函数$\alpha f+\beta g$ 的$r$ 次多项式因此
$\alpha p_r + \beta q_r$ 的$x^r$ 项系数为 $$ [t_1,\dots,t_{r+1}](\alpha f+\beta g)=\alpha[t_1,\dots,t_{r+1}]f+\beta[t_1,\dots,t_{r+1}]g $$
推论 9.3 下述性质成立
(1)
(2)
(1) 可推得 $[t_1,\dots,t_{r+1}]\mathcal{P}r = 0$，即 $[t_1,\dots,t{r+1}]\perp \mathcal{P}_r$
证明
- (1)
插值条件
$D^{j-1}p_r(\tau_i)=D^{j-1}f(\tau_i)\ (i=1,\dots,d;j=1,\dots,l_i)$ 由微分的 Rolle 中值定理知，$\exist \zeta \in [t_1,t_{r+1}]$，使得 $$ D^r(f-p_r(x))\Big|{x=\zeta}=0 $$ 即 $f^{(r)}(\zeta)-r![t_1,\dots,t{r+1}]f=0$
- (2)
- 当
$j\le r$ 时由 (1) 显然可得 (2) 成立
- 当
$j>r$ 时
- 当
$t_1=t_{r+1}$ 时由 (1) 显然可得 (2) 成立
- 当
$t_1<t_{r+1}$ 时（数学归纳法）
- 当
$r=1$ 时(2) 显然成立
- 设次数为
$r-1$ 时，命题正确
$$ \begin{aligned} \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] x ^ { j } & = \frac { \left[ t _ { 2 } , t _ { 3 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] x ^ { j } - \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r } \right] x ^ { j } } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \ & = \frac { \rho _ { j - r + 1 } \left( t _ { 2 } , t _ { 3 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) - \rho _ { j - r + 1 } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r } \right) } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \end{aligned} $$ 利用恒等式 $$ \rho _ { l } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) = t _ { 1 } \rho _ { l - 1 } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) + \rho _ { l } \left( t _ { 2 } , t _ { 3 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) $$ 可得 $$ \begin{aligned} \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] x ^ { j } & = \frac { - t _ { 1 } \rho _ { j - r } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) + t _ { r + 1 } \rho _ { j - r } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \ & = \rho _ { j - r } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) \end{aligned} $$ 即次数为
$r$ 时，命题仍然正确综合，由归纳法知 (2) 成立
定理 9.2
(1) 若
- 交换性：分母处与
$t$ 次序无关$\left[ t _ { 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f=[t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(r+1)}]f$ ，$\pi$ 是任意置换函数- 系数：$[\alpha t_1,\dots,\alpha t_{r+1}]f = \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( \alpha t _ { i } \right) } { \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { r + 1 } \left( \alpha t _ { i } - \alpha t _ { j } \right) } = \frac{1}{\alpha^r} \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( \alpha t _ { i } \right) } { \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { r + 1 } \left( t _ { i } - t _ { j } \right) }=\frac{1}{\alpha^r}[t_1,\dots,t_{r+1}]f(\alpha\cdot)$
(2) 设
证明
- (1)
由 推论 9.1 知 $$ \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \frac { D \left( \begin{array} { c c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r } , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r - 1 } , } & { f } \end{array} \right) } { V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) } $$ 将 $D \left( \begin{array} { c c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r } , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r - 1 } , } & { f } \end{array} \right)$ 按最后一列展开，得 $$ D \left( \begin{array} { c c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r } , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r - 1 } , } & { f } \end{array} \right)=\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^{r+1+i}f(t_i)V(t_1,\dots,t_{i-1},t_{i+1},\dots,t_{r+1}) $$ 故 $$ \begin{aligned} \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f &= \sum_{i=1}^{r+1}(-1)^{r+1+i}f(t_i)\frac{V(t_1,\dots,t_{i-1},t_{i+1},\dots,t_{r+1})}{V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right)}\ &=\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^{r+1+i}f(t_i)\frac{1}{(t_i-t_1)\dots(t_i-t_{i-1})(t_{i+1}-t_i)\dots(t_{r+1}-t_i)}\ &=\sum_{i=1}^{r+1}\frac{f(t_i)}{\omega^\prime(t_i)}\ \end{aligned} $$
- (2)
由 推论 9.1 且将右式分子的行列式按最后一列展开，得 $$ \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { l _ { i } } \alpha _ { i j } D ^ { j - 1 } f \left( \tau _ { i } \right) $$ 其中 $$ \alpha_{i,l_i}\triangleq\frac{V(\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1},\dots,\overbrace{\tau_i,\dots,\tau_i}^{l_i-1},\dots,\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d})}{V(t_1,\dots,t_{r+1})}(-1)^{r+1+\sum_{j=1}^il_j} $$ 不为 0
定理 9.3（Leibniz 公式）对任意
证明
（数学归纳法）
- 当
$r=0$ 时显然成立
- 假设次数为
$r-1$ 时命题正确
- 当
$t_1=t_{r+1}$ 时
$$ \begin{aligned} &\sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \cdot \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g\\ = & \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { D ^ { i - 1 } f \left( t _ { 1 } \right) } { ( i - 1 ) ! } \frac { D ^ { r + 1 - i } g \left( t _ { 1 } \right) } { ( r + 1 - i ) ! } \\ = & \frac { 1 } { r ! } \sum _ { i = 0 } ^ { r } D ^ { i } f \left( t _ { 1 } \right) \cdot D ^ { r - i } g \left( t _ { 1 } \right) \left( \begin{array} { c } { r } \\ { i } \end{array} \right) \\ = & \frac { D ^ { r } f \cdot g \left( t _ { 1 } \right) } { r ! } \\ = & [t_1,\dots,t_{r+1}]f\cdot g \end{aligned} $$
- 当
$t_1<t_{r+1}$ 时$$ \begin{aligned} &\left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f \cdot g \ =& \frac { \left[ t _ { 2 } , t _ { 3 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f \cdot g - \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r } \right] f \cdot g } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \ = &\frac { \sum _ { i = 2 } ^ { r + 1 } \left[ t _ { 2 } , t _ { 3 } , \cdots , t _ { i } \right] f \cdot \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g - \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \cdot \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r } \right] g } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } }\ = & \frac { 1 } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \left{ \sum _ { i = 2 } ^ { r + 1 } \left( \left( t _ { i } - t _ { 1 } \right) \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f + \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i - 1 } \right] f \right) \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g \right.\ &\left. - \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \left( - \left( t _ { r + 1 } - t _ { i } \right) \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g + \left[ t _ { i + 1 } , t _ { i + 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g \right) \right}\ = &\frac { 1 } { t _ { r + 1 } - t _ { 1 } } \left{ \sum _ { i = 2 } ^ { r + 1 } \left( t _ { i } - t _ { 1 } \right) \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g \right.\ &\left. \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( t _ { r + 1 } - t _ { i } \right) \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g \right}\ = &\sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g \end{aligned} $$ 即次数为
$r$ 时命题仍成立综上，由归纳法知命题成立
推论 9.4 差商满足消去性质，即 $$ t_1,\dots,t_{r+1}f=[t_1,\dots,t_r]f $$
证明
由 定理 9.3 得 $$ \begin{aligned}[] t_1,\dots,t_{r+1}f&=[t_1,\dots,t_r]f\cdott_r,t_{r+1}+[t_1,\dots,t_{r+1}]f\cdott_{r+1}\ &=[t_1,\dots,t_r]f \end{aligned} $$
定理 9.4 当
证明 $$ \begin{array} { l } { \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { j - 1 } , t _ { j } + \varepsilon , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f - \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f } \ { \quad = \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { j - 1 } , t _ { j + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } , t _ { j } + \varepsilon \right] f - \left[ t _ { j } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { j - 1 } , t _ { j + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f } \ { \quad = \varepsilon \left[ t _ { j } , t _ { 1 } , \cdots , t _ { j - 1 } , t _ { j + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } , t _ { j } + \varepsilon \right] f } \end{array} $$ 上式除以
$\varepsilon$ ，再令$\varepsilon\to 0$ ，根据 定理 9.4 就证明了定理
定理 9.6 设
$$
t_1\le t_2\le \dots\le t_{r+1}=
\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1}
< \dots<\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d},\quad \sum_{i=1}^d l_i=r+1
$$
则
$$
\frac{\part}{\part \tau_i}[t_1,\dots,t_{r+1}]f=l_i[\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1},\dots,\overbrace{\tau_i,\dots,\tau_i}^{l_i+1},\dots,\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d}]f
$$
定理 9.7 设
(1)
(2)
(3)
(4)
定义 9.2 设 ${y_i}{i=-\infty}^{+\infty}$ 是一不减的实数序列。对给定的整数 $i$ 和 $m>0$ 以及所有的实数 $x$， $$ Q _ { i } ^ { m } ( x ) \triangleq \left{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 1 } } & { y _ { i } < y _ { i + m } } \ { 0 } & { y _ { i } = y _ { i + m } } \end{array} \right. $$ 称为 $m$ 阶的、节点为 $y_i,y{i+1},\dots,y_{i+m}$ 的 B 样条
B 样条
$Q_i^m(x)$ 是一个具有局部支集$[y_i,y_{i+m}$ ) 的函数证明
当
$x<y_i$ 时，$(x-y)+^{m-1}=0,y=y_i,\dots,y{i+m}$当
$x\ge y_{i+m}$ 时，$(x-y)^{m-1}_+=(x-y)^{m-1}\in \mathcal{P}_m$，由 推论 9.3 (1) 知 $\left y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right^{m-1}=0$
$$ y_i,\dots,y_{i+m}^{m-1}+=(-1)^mt_i,\dots,t_{i+m}^{m-1}+ $$
证明详见习题 6
若
$$
y_i\le \dots\le y_{i+m}=
\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{m_1}
< \dots<\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{m_d},\quad \sum_{i=1}^d m_i=m+1
$$
则
$Q_i^m(x)$ 是多项式样条组成的函数
当
证明 $$ \begin{aligned} Q_i^1(x) &=-y_i,y_{i+1}^0_+\ &=y_i,y_{i+1}^0_+\ &=\frac{(y_{i+1}-x)^0_+-(y_{i}-x)^0_+}{y_{i+1}-y_i}\ &=\left{\begin{array}{ll} \frac{1}{y_{i+1}-y_i},&y_i\le x < y_{i+1},\ 0,&\text{other}. \end{array}\right. \end{aligned} $$
定理 9.9
(1) 设
证明
只证明 (1)，(2) 类似
已知
$Q_i^m(x)$ 具有局部支集$[y_i,y_{i+m})$ 当
$y_i\le x<y_{i+m}$ 时根据 推论 9.1，有 $$ \begin{aligned} Q_i^m(x) &=(-1)^my_i,\overbrace{y_{i+m},\dots,y_{i+m}}^m^{m-1}+\ &=(-1)^m\frac{ D\left(\begin{array}{lllll} y_i,&y{i+m},&\dots,&y_{i+m},&y_{i+m}\ 1,&y,&\dots,&y^{m-1},&(x-y)^{m-1}+ \end{array}\right) }{V(y_i,y{i+m},\dots,y_{i+m})} \end{aligned} $$ 分子为 $$ \left|\begin{matrix} 1 & y_i & y_i^2 & \dots & y_i^{m-1} & (x-y_i)^{m-1}\ 1 & y_{i+m} & y_{i+m}^2 & \dots & y_{i+m}^{m-1} & 0 \ & 1 & 2y_{i+m} & \dots & (m-1)y_{i+m}^{m-2} & 0 \ & & 2 & \dots & (m-1)(m-2)y_{i+m}^{m-3} & 0 \ & & & \ddots & \vdots& \vdots\ & & & & (m-1)! & 0 \end{matrix}\right|=(-1)^m(x-y_i)^{m-1}\prod_{\nu = 1}^{m-1}\nu ! $$ 对于分母，将
$y_i$ 视为变量，记$f(y_i)=V(y_i,y_{i+m},\dots,y_{i+m})$ ，具体写为 $$ \left|\begin{matrix} 1 & y_i & y_i^2 & \dots & y_i^m\ 1 & y_{i+m} & y_{i+m}^2 & \dots & y_{i+m}^m \ & 1 & 2y_{i+m} & \dots & my_{i+m}^{m-1} \ & & 2 & \dots & m(m-1)y_{i+m}^{m-2} \ & & & \ddots& \vdots\ & & & & m! \end{matrix}\right| $$ 易知 $$ f(y_{i+m})=f^\prime(y_{i+m})=\dots=f^{(m-1)}(y_{i+m})=0 $$ 因此$f(y_i)=c(y_{i+m}-y_i)^m$ ，由于$y_i^m$ 的系数为 $$ (-1)^m\prod_{\nu=1}^{m-1}\nu!=c(-1)^m $$ 则 $$ V(y_i,y_{i+m},\dots,y_{i+m})=(y_{i+m}-y_i)^m\prod_{\nu=1}^{m-1}\nu! $$ 故 $$ Q_i^m(x)=\frac{(x-y_i)^{m-1}}{(y_{i+m}-y_i)^m} $$
性质 1 B 样条函数满足如下递推关系：设
令 $$ \alpha_{i,m}(x)=\frac{x-y_i}{y_{i+m}-y_i} $$ 则 $$ \begin{aligned} Q_i^m(x) &=\alpha_{i,m}(x)Q_i^{m-1}(x)+(1-\alpha_{i,m}(x))Q_{i+1}^{m-1}(x)\ &=\text{lerp}(Q_i^{m-1}(x), Q_{i+1}^{m-1}(x), \alpha_{i,m}(x)) \end{aligned} $$ 再结合 $$ Q_i^1(x)=\left{\begin{array}{ll} \frac{1}{y_{i+1}-y_i},&y_i\le x < y_{i+1},\ 0,&\text{other}. \end{array}\right. $$ 就是
$Q_i^m(x)$ 的等价定义
证明
- 当
$x<y_i$ 或$x\ge y_{i+m}$ 时左右两边皆为
$0$
- 当
$y_i\le x\le y_{i+m}$ 时
- 当
$y_i<y_{i+1}=\dots=y_{i+m}$ 时由 定理 9.9 (1) 得 $$ Q_i^m(x)=\frac{(x-y_i)^{m-1}}{(y_{i+m}-y_i)^m},\ Q_{i}^{m-1}=\frac{(x-y_i)^{m-2}}{(y_{i+m-1}-y_i)^{m-1}} $$ 又
$Q_{i+1}^{m-1}(x)=0$ ，从而定理成立
- 当
$y_i = \dots = y_{i+m-1}<y_{i+m}$ 时同上
- 其他，即
$y_{i+1}<y_{i+m}$ 且$y_i<y_{i+m-1}$
$$ \begin{aligned} Q _ { i } ^ { m } ( x ) = & ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 } \cdot ( x - \cdot) \\ = & ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - ) _ { + } ^ { m - 2 } \cdot \left( x - y _ { i } \right) \\ & + ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i + 1 } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 } \cdot \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } \right] ( x - \cdot ) \\ = & ( - 1 ) ^ { m } \frac { x - y _ { i } } { y _ { i + m } - y _ { i } } \Big{ - \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m - 1 } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 }\\ & + \left[ y _ { i + 1 } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 } \Big} + Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } ( x ) \\ = & \frac { \left( x - y _ { i } \right) Q _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) + \left( y _ { i + m } - x \right) Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } ( x ) } { y _ { i + m } - y _ { i } } \end{aligned} $$ 第一个等号：拆处一项
第二个等号：Leibniz 公式
第三个等号：$y_i,y_{i+1}=-1$，差商递推
性质 2 设
证明
- 当
$y_i$ 或$y_{i+m}$ 是$m$ 重点时用定理 定理 9.9 即可证得
- 当
$y_i<y_{i+m-1}$ 且$y_{i+1}<y_{i+m}$ 时$$ \begin{aligned} D_+Q_i^m(x) & = ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] D _ { + } ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 1 } \ & = ( - 1 ) ^ { m } ( m - 1 ) \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 }\ & = ( - 1 ) ^ { m } ( m - 1 ) \frac { \left[ y _ { i + 1 } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 } - \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m - 1 } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 2 } } { y _ { i + m } - y _ { i } }\ & = ( m - 1 ) \frac { Q _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) - Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } ( x ) } { y _ { i + m } - y _ { i } } \end{aligned} $$ 第一个等号：$D_+$ 和
$[y_i,\dots,y_{i+m}]$ 可交换顺序第二个等号：$D_+$ 作用于截断幂函数
第三个等号：差商定义
第四个等号：$Q$ 定义
性质 3 设
(1)
$$
\left{\begin{array}{ll}
Q_i^m(x)>0&y_i<x<y_{i+m}\
Q_i^m(x)=0&\text{other}
\end{array}\right.
$$
(2) 在区间
证明
(1)
支集外为 0 参考定义处的证明
当
$y_i\le x<y_{i+m}$ 时，（归纳法）
- 当
$m=1$ 时
$$ Q_{i}^1(x)=\frac{1}{y_{i+m}-y_i}>0 $$
- 假设
$m-1$ 时成立由 性质 1 得 $$ Q_i^m(x)=\frac{(x-y_i)Q_i^{m-1}(x)+(y_{i+m}-x)Q_{i+1}^{m-1}(x)}{y_{i+m}-y_i} $$ 由于
$x-y_i,y_{i+m}-x,y_{i+m}-y_i>0$ ，由归纳假设$Q_i^{m-1}(x)$ 与$Q_{i+1}^{m-1}$ 中至少一个严格大于$0$ ，则$Q_i^m(x)>0$ (2)
证左端点，右端点类似
当
$x<y_i$ 时，$Q_i^m(x)=0$，$y_i$ 是$\alpha_i$ 重点，则$Q_i^m(x)$ 在点$y_i$ 应有$m-1-\alpha_i$ 次连续导数，则 $$ D_+^kQ_i^m(y_i)=0 \quad (k=0,\dots,m-1-\alpha_i) $$
- 若
$\alpha_i=m$ 则根据 定理 9.9 有 $$ (-1)^kD^k_+Q_i^m(y_i)>0\quad(k=0,\dots,m-1) $$
- 若
$\alpha_i<m$ （归纳法）
- 当
$m=2$ 时有
$\alpha_i=1$ ，则 $$ D_+Q_i^2(y_i)=\frac{1}{(y_{i+1}-y_i)(y_{i+2}-y_{i})}>0 $$
- 设
$m-1$ 时成立即 $$ ( - 1 ) ^ { k + m - 1 - \alpha _ { i } } D _ { + } ^ { k } Q _ { i } ^ { m - 1 } \left( y _ { i } \right) > 0 \quad \left( k = m - 1 - \alpha _ { i } , \cdots , m - 2 \right) $$ 等价于 $$ \begin{array} { l } { ( - 1 ) ^ { k + m - \alpha _ { i } } D _ { + } ^ { k - 1 } Q _ { i } ^ { m - 1 } \left( y _ { i } \right) > 0 \quad \left( k = m - \alpha _ { i } , \cdots , m - 1 \right) } \ { ( - 1 ) ^ { k + m - \alpha _ { i + 1 } } D _ { + } ^ { k - 1 } Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } \left( y _ { i + 1 } \right) > 0 \quad \left( k = m - 1 - \alpha _ { i + 1 } , \cdots , m - 1 \right) } \end{array} $$ 由于 $$ \alpha _ { i } = \left{ \begin{array} { l l } { 1 } & { y _ { i } < y _ { i + 1 } } \ { \alpha _ { i + 1 } + 1 } & { y _ { i } = y _ { i + 1 } } \end{array} \right. $$ 则 $$ ( - 1 ) ^ { k + m - \alpha _ { i } - 1 } D _ { + } ^ { k - 1 } Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } \left( y _ { i } \right) \geqslant 0 \quad \left( k = m - \alpha _ { i } , \cdots , m - 1 \right) $$
当
$y_i<y_{i+1}$ 时，上式为 0当
$y_i=y_{i+1}$ 时，$\alpha_i=\alpha_{i+1}+1$再由 性质 2 可得 $$ \begin{array} { c } { ( - 1 ) ^ { k + m - \alpha _ { i } } D _ { + } ^ { k } Q _ { i } ^ { m } \left( y _ { i } \right) = ( - 1 ) ^ { k + m - \alpha _ { i } } ( m - 1 ) \frac { D _ { + } ^ { k - 1 } Q _ { i } ^ { m - 1 } \left( y _ { i } \right) - D _ { + } ^ { k - 1 } Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } \left( y _ { i } \right) } { y _ { i + m } - y _ { i } } > 0 } \ { \left( k = m - \alpha _ { i } , \cdots , m - 1 \right) } \end{array} $$
根据性质 1、2、3 可大概估计下样条的形状
示例
性质 4
(1) 设
证明
(1)
因为 $Q_i^m(x)\Big|_{I_l}\in \mathcal{P}m$ 且 ${Q_i^m(x)}{i=l+1-m}^l$ 有
$m$ 个元素，故只需证它们在$I_l$ 上线性无关设
$\forall x \in I_l$ ， $$ s(x)=\sum_{i=l+1-m}^lc_iQ_i^m(x)=0 $$ 若$c_i$ 不全为$0$ ，令$c_p$ 是${c_i}$ 中第一个非零的系数（$l+1-m\le p\le p$）。令 $$ y _ { p } \leqslant y _ { p + 1 } \leqslant \cdots \leqslant y _ { l } = \overbrace { \tau _ { 1 } , \cdots , \tau _ { 1 } } ^ { l _ { 1 } } < \cdots < \overbrace { \tau _ { d } , \cdots , \tau _ { d } } ^ { l _ { d } } $$ 有$\sum_{i=1}^d l_i\le m$ ，且 $$ s ( x ) = \sum _ { i = p } ^ { l } c _ { i } Q _ { i } ^ { m } ( x ) = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { l _ { j } } \alpha _ { j k } \left( x - \tau _ { j } \right) _ { + } ^ { m - k } $$ 其中$\alpha_{1l_1}\neq 0$ ，令 $$ \widetilde{s}(x)=\sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^{l_j}\alpha_{jk}(x-\tau_j)^{m-k}_+ $$ 当$x<\tau_1$ 时，$\widetilde{s}(x)=0$；当$x>\tau_d$ 时，$\widetilde{s}(x)$ 为一$m$ 阶多项式；当$x\in I_l$ 时，$\widetilde{s}(x)=s(x)=0$。故$\widetilde{s}(x)$ 是一个具有局部支集的非平凡的样条。
$\sum_{i=1}^d l_i\le m$ 且根据 引理 8.1，矛盾故
$c_i$ 全为$0$ (2)
当
$x\in [y_l,y_{r})$ 时 $$ s(x)=\sum_{i=l+1-m}^{r-1} c_iQ_i^{m-1}(x)=0 $$由 (1) 证明通过挪动区间易得
$c_i=0$
定义规范
补充 $$ \begin{aligned} D_+N_i^m(x) &=(m-1)\left(Q_i^{m-1}(x)-Q_{i+1}^{m-1}(x)\right)\ &=(m-1)\left(\frac{N^{m-1}i(x)}{y{i+m-1}-y_i}-\frac{N_{i+1}^{m-1}(x)}{y_{i+m}-y_{i+1}}\right) \end{aligned} $$
性质 5 规范 B 样条形成单位分解，即对任意
直观理解
证明
（数学归纳法）
- 当
$m=1$ 时
$$ N_j^1(x)=1 $$
- 假设当阶数为
$m-1$ 时成立
$$ \begin{aligned} \sum _ { i = j + 1 - m } ^ { j } N _ { i } ^ { m } ( x ) & = \sum _ { i = j + 1 - m } ^ { j } \left[\left( x - y _ { i } \right) Q _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) + \left( y _ { i + m } - x \right) Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } ( x )\right] \\ & = \sum _ { i = j + 1 - m } ^ { j } \left( x - y _ { i } + y _ { i + m - 1 } - x \right) Q _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) \\ & = \sum _ { i = j + 2 - m } ^ { j } N _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) = 1 \end{aligned} $$ 第一个等号利用了 性质 1
第二个等号利用了
$Q_{j+1-m}^{m-1}(x)=0=Q_{j+1}^{m-1}(x),\ x\in[y_j,y_{j+1})$ 第三个等号利用了
$N_{j+1-m}^{m-1}(x)=0,\ x\in[y_j,y_{j+1})$ 第四个等号利用了假设
性质 6（Marsden 恒等式）设
(1)
$$
(y-x)^{m-1}=\sum_{i=l+1-m}^r\varphi_{i,m}(y)N_i^m(x)\quad(y_l\le x< y_{r+1})
$$
其中
$$
\varphi_{i,m}(y)=\prod_{\nu=1}^{m-1}(y-y_{i+\nu}),\quad \varphi_{i,1}(y)\triangleq 1
$$
(2) 特别地，对于
证明
(1)
（数学归纳法）
- 当
$m=1$ 时右边为 $$ \sum_{i=l}^r N_i^1(x)=1 $$
$N_i^1(x)$ 只在$[y_i,y_{i+1})$ 上为$1$ ，故和式在$[y_l,y_{r+1})$ 上为$1$
- 假设阶数为
$m-1$ 时成立
$$ \begin{aligned} &\sum_{i=l+1-m}^r\varphi_{i.m}(y)N_i^m(x)\\ =&\sum_{i=l+1-m}^r\varphi_{i.m}(y)\Big(\left( x - y _ { i } \right) Q _ { i } ^ { m - 1 } ( x ) + \left( y _ { i + m } - x \right) Q _ { i + 1 } ^ { m - 1 } ( x )\Big)\\ =&\sum_{i=l+2-m}^r Q_i^{m-1}(x)\Big((x-y_i)\varphi_{i,m}(y)+(y_{i+m-1}-x)\varphi_{i-1,m}(y)\Big)\\ =&\sum_{i=l+2-m}^r Q_i^{m-1}(x)\varphi_{i,m-1}(y)\Big((x-y_i)(y-y_{i+m-1})+(y_{i+m-1}-x)(y-y_i)\Big)\\ =&\sum_{i=l+2-m}^r Q_i^{m-1}(x)\varphi_{i,m-1}(y)(y-x)(y_{i+m-1}-y_i)\\ =&(y-x)\sum_{i=l+2-m}^r \varphi_{i,m-1}(y)N_i^{m-1}(x)\\ =&(y-x)^{m-1} \end{aligned} $$ 第一个等号： 性质 1
第二个等号：求和中两项对
$Q$ 关于$i$ 进行统一（首尾有零项，类似 性质 5 证明），然后由于$Q_{l+1-m}^{m-1}(x)=0$ 而少一个求和项第三个等号：根据
$\varphi$ 的定义，提取公因子$\varphi_{i,m-1}$ 第五个等号：
$N$ 的定义第六个等号：假设
(2)
在
$y=0$ 处求对$y$ 的$m-j$ 次导数，得到 $$ ( - 1 ) ^ { j - 1 } \frac { ( m - 1 ) ! } { ( j - 1 ) ! } x ^ { j - 1 } = \sum _ { i = 1 + 1 - m } ^ { r } D ^ { m - j } \varphi _ { i , m } ( 0 ) N _ { i } ^ { m } ( x ) $$ 移项即可
定义对称函数 $\text{symm}j(t_1,\dots,t_p)$：
$$
\varphi(t)=\prod{i=1}^p(t-t_i)=\sum_{j=0}^pt^{p-j}(-1)^j\text{symm}j(t_1,\dots,t_p)
$$
由定义易得
$$
\begin{aligned}
\text{symm}0(t_1,\dots,t_p)&=1\
\text{symm}1(t_1,\dots,t_p)&=\sum{i=1}^p t_i\
\text{symm}p(t_1,\dots,t_p)&=\prod{i=1}^p t_i\
\end{aligned}
$$
定义式两边在 $t=0$ 处取 $p-j$ 次导数，得
$$
\text{symm}j(t_1,\dots,t_p)=(-1)^j\frac{D^{p-j}\varphi(0)}{(p-j)!}
$$
因而
$$
\text{symm}{j-1}(t{i+1},\dots,t{i+m-1})=(-1)^{j-1}\frac{D^{m-j}\varphi_{i,m}(0)}{(m-j)!}
$$
故
$$
\xi_i^{(j)}=\frac{\text{symm}{j-1}(y{i+1},\dots,y_{i+m-1})}{C_{m-1}^{j-1}}
$$
对性质 6 (2) 取
(1)（差商的 Peano 表示） $$ \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] f = \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } \frac { ( - 1 ) ^ { j } D _ { + } ^ { j } Q _ { i } ^ { m } ( x ) D ^ { m - j } f ( x ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } x $$ (2)（矩量） $$ \int_{y_i}^{y_{i+m}}(-1)^jD^j_+Q_i^m(x)\cdot x^\nu\mathrm{d}x= \left{\begin{array}{ll} 0,&\nu=0,\dots,j-1\ \frac{\nu!(m-1)!}{(m+\nu-j)!}\rho_{\nu-j}(y_i,\dots,y_{i+m}),&\nu=j,\dots \end{array}\right. $$ 特别地， $$ \begin{aligned} \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } Q _ { i } ^ { m } ( x ) \mathrm { d } x &= \frac { 1 } { m } \ \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } x Q _ { i } ^ { m } ( x ) \mathrm { d } x &= \frac { y _ { i } + y _ { i + 1 } + \cdots + y _ { i + m } } { m ( m + 1 ) } \end{aligned} $$
证明
(1)
设
$f\in L_1^{m-j}[a,b]$ ，由带积分余项的 Taylor 公式知 $$ \begin{aligned} f ( x ) & = \sum _ { k = 0 } ^ { m - j - 1 } \frac { D ^ { k } f ( a ) ( x - a ) ^ { k } } { k ! } + \int _ { a } ^ { x } \frac { ( x - y ) ^ { m - j - 1 } D ^ { m - j } f ( y ) } { ( m - j - 1 ) ! } \mathrm { d } y \ & = \sum _ { k = 0 } ^ { m - j - 1 } \frac { D ^ { k } f ( a ) ( x - a ) ^ { k } } { k ! } + \int _ { a } ^ { b } \frac { ( x - y ) _ { + } ^ { m - j - 1 } D ^ { m - j } f ( y ) } { ( m - j - 1 ) ! } \mathrm { d } y \end{aligned} $$ 两边作用差商算子$[y_i,\dots,y_{i+m}]$ ，得 $$ \left[ y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] f = \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } \frac { \left[ y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( \cdot - y ) _ { + } ^ { m - j - 1 } D ^ { m - j } f ( y ) } { ( m - j - 1 ) ! } \mathrm { d } y $$ 注意到 $$ \begin{array} { l } { D _ { + , y } ^ { j } ( \cdot - y ) _ { + } ^ { m - 1 } = ( - 1 ) ^ { j } \frac { ( m - 1 ) ! } { ( m - j - 1 ) ! } ( \cdot - y ) _ { + } ^ { m - j - 1 } } \ { ( \cdot - y ) ^ { m - 1 } = ( \cdot - y ) _ { + } ^ { m - 1 } + ( - 1 ) ^ { m - 1 } ( y - \cdot ) _ { + } ^ { m - 1 } } \end{array} $$ 则 $$ \begin{aligned} \left[ y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] f &= \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } \frac { (-1)^j D^j_y \left[ y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( \cdot - y ) _ { + } ^ { m-1 } D ^ { m - j } f ( y ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } y\ &= \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } \frac { (-1)^j D^j_y Q_i^m(y) D ^ { m - j } f ( y ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } y\ \end{aligned} $$根据 推论 9.3 (1)，$\left y _ { i } , y _ { i + 2 } , \cdots , y _ { i + m } \right^{m-1}=0$
(2)
令 (1) 中
$f(x)=x^{m-j+\nu}$ 再结合 推论 9.1 即可对于两特别式，第一个取
$j=0,\nu=0$ ；第二个取$j=0,\nu=1$
性质 7 (1) 取
记差商算子
定理 9.10 设
证明
设
$f\in L_1^{m-j}[a,b]$ ，由带积分余项的 Taylor 公式知 $$ f ( x ) = \sum _ { j = 0 } ^ { m-1 } \frac { D ^ { j } f ( a ) ( x - a ) ^ { j } } { j ! } + \int _ { a } ^ { b } \frac { ( x - y ) ^ { m - 1 }_+ D ^ { m } f ( y ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } y $$ 且对任意 $p\in \mathcal{P}m$ 都有 $L(p)=0$，则 $$ L(f) = \int _ { a } ^ { b } \frac { L_x( x - y ) ^ { m - 1 }+ D ^ { m } f ( y ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } y=\int_a^b K(y)D^mf(y)\mathrm{d}y $$
推论 9.5 如果核
证明
由中值定理知 $$ L(f)=\int_a^b K(y)D^mf(y)\mathrm{d}y=f^{(m)}(\xi)\int_a^bK(y)\mathrm{d}y $$ 又 $$ L(x^m)=m!\int_a^b K(x)\mathrm{d}x=m!\int_a^bK(y)\mathrm{d}y $$ 则 $$ L(f)=\frac{f^{(m)}(\xi)}{m!}L(x^m) $$
性质 8 B 样条的内积：设
证明
性质 7(1) 取
$j=0$ ，则 $$ [y_i,\dots,y_{i+m}]f=\int_{y_i}^{y_{i+m}}\frac{Q_i^m(x)D^mf(x)}{(m-1)!}\mathrm{d}x $$ 取 $$ f(x)=[y_j,\dots,y_{j+n}]y(y-x)^{m+n-1}+ $$ 则 $$ \begin{aligned} &[y_i,\dots,y_{i+m}]x[y_j,\dots,y_n]y(y-x)^{m+n-1}+\ =&\int{y_i}^{y_{i+m}}\frac{Q_i^m(x)D^m_x[y_j,\dots,y_{j+n}]y(y-x)^{m+n-1}+}{(m-1)!}\mathrm{d}x\ =&\frac{(-1)^m(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!}\int_{-\infty}^{+\infty}Q_i^m(x)Q_j^n(x)\mathrm{d}(x) \end{aligned} $$ 由于$Q_i^m(x)$ 的支集为$(y_i,y_{i+m})$ ，所以上式的积分限可以代换为从$-\infty$ 到$+\infty$
性质 9 B 样条对节点的连续性依赖：设
$$
y_i\le \dots\le y_{i+m}=\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_d}^{l_1},\dots,\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d}\ (\sum_{i=1}^d l_i=m+1)
$$
建立空间 $\mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$ 的一个具有局部支集的基底，空间维数为 $m+K$，其中 $K$ 为分割 $\Delta$ 的节点数（计算重节点）。在 $K$ 个节点上仅能定义 $K-m$ 个 B 样条，不能构成空间 $\mathcal{S}$ 的基底，因此必须加进 $2m$ 个点，但不能在区间 $(x_0,x{K+1})$ 内部增加，否则就改变了空间
一个 B 样条需要顺序的
$m+1$ 个节点，而$\mathcal{S}$ 总共有$K$ 个节点，因此可以定义$K-(m+1)+1=K-m$ 个 B 样条引进
$2m$ 个点后，节点数变为$K+2m$ ，可以定义$K+m$ 个 B 样条
定义 9.3 对给定的
${y_i}{i=1}^{2m+K}$ 一种特殊的取法是
$$
y_1=\dots=y_m=a,\quad y{m+K+1}=\dots=y_{2m+K}=b
$$
这样就在 ${y_i}{i=1}^{2m+K}$ 上定义了 $m+K$ 个 B 样条 ${B_i(x)}{i=1}^{m+K}$
$$
B_i(x)=(-1)^m(y_{i+m}-y_i)y_i,\dots,y_{i+m}^{m-1}_+
$$
即为
当限制
根据 B 样条的定义，它是右连续的，因而必须定义
$$
B_{m+K}(b)=\lim_{x\to b-0}B_{m+K}(x)
$$
当
等距节点是指
（基本 B 样条）令 $$ \begin{aligned} Q^m(x) &\triangleq (-1)^m0,\dots,m^{m-1}+\ &=\frac{(-1)^m\Delta^m(x-\cdot)^{m-1}+}{m!}\ &=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i\mathrm{C}m^i(x-i)^{m-1}+}{m!} \end{aligned} $$
第 2 个等号用了定理 9.8 (1)
相应的规范 B 样条为
$$
N^m(x)=mQ^m(x)
$$
定理 9.11 设
证明 $$ \begin{aligned} Q _ { i } ^ { m } ( x ) & = ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i } + h , \cdots , y _ { i } + m h \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 1 } \ & = ( - 1 ) ^ { m } [ 0 , h , \cdots , m h ] \left( x - y _ { i } - \cdot \right) _ { + } ^ { m - 1 } \ & = ( - 1 ) ^ { m } [ 0,1 , \cdots , m ] \left( x - y _ { i } - \cdot h \right) _ { + } ^ { m - 1 } \cdot \frac { 1 } { h ^ { m } } \ & = ( - 1 ) ^ { m } [ 0,1 , \cdots , m ] \left( \frac { x - y _ { i } } { h } - \cdot \right) _ { + } ^ { m - 1 } \cdot \frac { 1 } { h } \ & = \frac { 1 } { h } Q ^ { m } \left( \frac { x - y _ { i } } { h } \right) \end{aligned} $$ 又 $$ N^m_i(x)=mhQ^m_i(x)=mQ^m\left(\frac{x-y_i}{h}\right)=N^m\left(\frac{x-y_i}{h}\right) $$
性质 1 $$ \int_0^m N^m(x)\mathrm{d}x=1 $$ 性质 2 $$ \begin{aligned} N^m(x)&=xQ^{m-1}(x)+(m-x)Q^{m-1}(x-1)\ N^m(x)&=N^m(m-x) \end{aligned} $$
第 2 条是对称性
证明
（归纳法）
- 当
$m=1$ 时显然成立- 设
$m-1$ 时成立
$$ \begin{aligned} N^m(m-x) &=(m-x)Q^{m-1}(m-x)+xQ^{m-1}(m-1-x)\\ &=(m-x)Q^{m-1}(x-1)+xQ^{m-1}(x)\\ &=N^m(x) \end{aligned} $$ 综上，由归纳法知成立
性质 3 $$ \begin{aligned} D_+N^m(x)&=N^{m-1}(x)-N^{m-1}(x-1)\ D^j_+N^m(x)&=\nabla ^jN^{m-j}(x)=\sum_{k=0}^j(-1)^k\mathrm{C}_j^k N^{m-j}(x-k) \end{aligned} $$
$\nabla$ 是向后差分算子，即$\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)$
证明
定义平移算子
$E^{-1}$ 为 $$ E^{-1}f(x)\triangleq f(x-1) $$ 则 $$ D_+N^m(x)=N^{m-1}(x)-N^{m-1}(x-1)=\nabla N^{m-1}(x)\triangleq(I-E^{-1})N^{m-1}(x) $$ 所以 $$ D^j_+N^m(x)=\nabla^jN^{m-j}(x)=(I-E^{-1})^jN^{m-j}(x)=\sum_{k=0}^j(-1)^k\mathrm{C}_k^jN^{m-j}(x-k) $$
性质 4 $$ \Delta ^mf(0)=\int_0^mN^m(x)D^mf(x)\mathrm{d}x $$
证明 $$ \begin{aligned} \Delta^mf(0) &=m![0,\dots,m]f(\cdot)\ &=m\int_0^m Q^m(x)D^mf(x)\mathrm{d} x\ &=\int^m_0N^m(x)D^mf(x)\mathrm{d}x \end{aligned} $$
第 1 个等号：$\Delta$ 定义
第 2 个等号：性质 7 (1)
性质 5 $$ N^m(x)=\left(N^1 \star N^{m-1}\right)(x)=\int_0^1 N^{m-1}(x-t)\mathrm{d}t\quad(m\ge 2) $$
证明 $$ \begin{aligned} \left(N^1 \star N^{m-1}\right)(x) &=\int_\mathbb{R} N^1(t)N^{m-1}(x-t)\mathrm{d}t\ &=\int 0^1 N^{m-1}(x-t)\mathrm{d}t\ &=(-1)^{m-1}(m-1)[0,\dots,m-1]\int_0^1(x-t-\cdot)^{m-2}+\mathrm{d}t\ &=(-1)^{m-1}[0,\dots,m-1]\Big((x-1-\cdot)^{m-1}-(x-\cdot)^{m-1}\Big)\ &=(-1)^{m-1}1,\dots,m^{m-1}-0,\dots,m-1^{m-1}\ &=(-1)^{m-1}m0,\dots,m^{m-1}\ &=N^m(x) \end{aligned} $$
推论 $$ N^m(x)=\left(N^i\star N^{m-i}\right)(x) $$
性质 6 B 样条的 Fourier 变换
$$
\begin{aligned}
\hat{N}^m(\omega)
&=\int_\mathbb{R}N^m(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x\
&=\left(\hat{N}^1(\omega)\right)^m\
&=\left(\int_0^1 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x\right)^m\
&=\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega}}{\mathrm{i}\omega}\right)^m
\end{aligned}
$$
其中
卷积的 Fourier 变换就是变换的乘积
性质 7 对每个连续函数
证明 $$ \begin{aligned} \int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) N ^ { m } ( x ) \mathrm { d } x & = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( x ) \int _ { 0 } ^ { 1 } N ^ { m - 1 } \left( x - x _ { 1 } \right) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x \ & = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( x ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } N ^ { 1 } \left( x - x _ { 1 } - \cdots - x _ { m - 1 } \right) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } \cdots \mathrm { d } x _ { m - 1 } \mathrm { d } x \ & = \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { m - 1 } } ^ { 1 + x _ { 1 } + \cdots + x _ { m - 1 } } f ( x ) \mathrm { d } x \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { m - 1 } \ & = \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } f \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { m } \right) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } \cdots \mathrm { d } x _ { m } \end{aligned} $$
等距节点关于原点对称的 B 样条
$$
M^m(x)\triangleq (-1)^mm\left[-\frac{m}{2},-\frac{m}{2}+1,\dots,\frac{m}{2}\right]=N^m\left(x+\frac{m}{2}\right)
$$
关于原点对称
$$
M^m(x)= N^m\left(x+\frac{m}{2}\right)=N^m\left(m-x-\frac{m}{2}\right)=N^m\left(-x+\frac{m}{2}\right)=M^m(-x)
$$
定理 9.12 对所有的
(1)
$$
M^m(x)=\left(M^i\star M^{m-i}\right)(x)=\int_{\mathbb{R}}M^i(t)M^{m-i}(x-t)\mathrm{d}t
$$
(2)
$$
M^m(x)=\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R}\psi_m(\omega)e^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega
$$
即
证明
(1) $$ \begin{aligned} \left(M^1\star M^{m-1}\right)(x) &=\int_0^1M^1(t)M^{m-1}(x-t)\mathrm{d}t\ &=\int_0^1N^1\left(t+\frac{1}{2}\right)N^{m-1}\left(x-t+\frac{m-1}{2}\right)\mathrm{d}t\ &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}N^{m-1}\left(x-t+\frac{m-1}{2}\right)\mathrm{d}t\ &=\int_0^1 N^{m-1}\left(x+\frac{m}{2}-t\right)\mathrm{d}t\ &=N^{m}\left(x+\frac{m}{2}\right)\ &=M^m(x) \end{aligned} $$ 再利用卷积的性质即可
(2) $$ \hat{M}^1(\omega) =\int_\mathbb{R}M^1(x)\mathrm{e}^{-\sqrt{-1}\omega x}\mathrm{d}x =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega =\frac{\sin\frac{\omega}{2}}{\omega/2} $$ 则 $$ \hat{M}^m(\omega)=\left(\hat{M}^1(\omega)\right)^m=\left(\frac{\sin\frac{\omega}{2}}{\omega/2}\right)^m=\psi_m(u) $$