设
定义 8.1 称空间
$$
\begin{aligned}
\mathcal { S } \left( \mathcal { P } _ { m } , \mathfrak { M } , \Delta \right) \triangleq { & s : s ( x ) = s _ { i } ( x ) \in \mathcal { P } _ { m } , x \in I _ { i } ( i = 0,1 , \cdots , k ) , D ^ { j } s _ { i - 1 } \left( x _ { i } \right) \
&= D ^ { j } s _ { i } \left( x _ { i } \right) \left( i = 1,2 , \cdots , k ; j = 0,1 , \cdots , m - 1 - m _ { i } \right)}
\end{aligned}
$$
为
定理 8.1
(1) 对任意 $s(x)\in \mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$，必存在 $p(x)\in \mathcal{P}m$，和实数 ${\alpha{ij}}{i,j=1}^{k,m_i}$ 使得 $$ s ( x ) = p ( x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { i } } \alpha _ { i j } \left( x - x _ { i } \right) _ { + } ^ { m - j }=\sum _ { i = 0 } ^ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { i } } \alpha _ { i j } \left( x - x _ { i } \right) _ { + } ^ { m - j } $$
截断幂函数的性质
$x^m=x^m_++(-1)^m(-x)^m_+$ $(x^m_+)^\prime=mx^{m-1}_+$ $\int_a^b x^m_+\mathrm{d}x=\frac{1}{m+1}x^{m+1}_+\Big|^b_a$
(2) 空间
- 节点：$t_1\le t_2\le \dots\le t_{r+1}= \overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1} < \dots<\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d},\quad \sum_{i=1}^d l_i=r+1$
- 定义：$[t_1,\dots,t_{r+1}]f\triangleq\left{\begin{array}{ll} \frac{[t_2,\dots,t_{r+1}]f-[t_1,\dots,t_r]f}{t_{r+1}-t_1},&t_1<t_{r+1},\ \frac{1}{r!}f^{(r)}(t_1),&t_1=t_{r+1}\ \end{array}\right.$
-
$[t_1,\dots,t_{r+1}]f$ 即为在点${t_i}_{i=1}^{r+1}$ 插值于函数$f$ 的$r$ 次多项式$p_r(x)$ 的$x^r$ 项系数 - 矩阵：$M \left( \begin{array} { l l l } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { D u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { D u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { D u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { 2 } \left( \tau _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { D ^ { l _ { 1 } - 1 } u _ { m } \left( \tau _ { 1 } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { u _ { 1 } \left( \tau _ { d } \right) } & { u _ { 2 } \left( \tau _ { d } \right) } & { \cdots } & { u _ { m } \left( \tau _ { d } \right) } \ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \ { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { 1 } \left( \tau _ { d } \right) } & { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { 2 } \left( \tau _ { d } \right) } & { \cdots } & { D ^ { l _ { d } - 1 } u _ { m } \left( \tau _ { d } \right) } \end{array} \right)$
- 矩阵：$D \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right) = \operatorname { det } M \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { m } } \ { u _ { 1 } , } & { u _ { 2 } , } & { \cdots , } & { u _ { m } } \end{array} \right)$
- 行列式：$\left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \frac { D \left( \begin{array} { c c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r } , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r - 1 } , } & { f } \end{array} \right) } { V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) }\V \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right) = D \left( \begin{array} { c c c c } { t _ { 1 } , } & { t _ { 2 } , } & { \cdots , } & { t _ { r + 1 } } \ { 1 , } & { x , } & { \cdots , } & { x ^ { r } } \end{array} \right)$
- 导数：$[t_1,\dots,t_{r+1}]f=\frac{f^{(r)}(\zeta)}{r!}\ (t_1\le \zeta\le t_{r+1})$
- 幂：$[t_1,\dots,t_{r+1}]x^j=\rho_{j-r}(t_1,\dots,t_{r+1})=\left{\begin{array}{ll}0,&j<r\1,&j=r\\sum_\limits{1\le \alpha_1\le \dots\le \alpha_{j-r}\le r+1}t_{\alpha_1}\dots t_{\alpha_{j-r}},&j>r\end{array}\right.$
- 展开式：$\left[ t _ { 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( t _ { i } \right) } { w ^ { \prime } \left( t _ { i } \right) } = \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( t _ { i } \right) } { \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { r + 1 } \left( t _ { i } - t _ { j } \right) }\\omega(t)=\prod_{i=1}^{r+1}(t-t_i)$
- 交换性：$\left[ t _ { 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f=[t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(r+1)}]f$
- 系数：$[\alpha t_1,\dots,\alpha t_{r+1}]f = \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( \alpha t _ { i } \right) } { \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { r + 1 } \left( \alpha t _ { i } - \alpha t _ { j } \right) } = \frac{1}{\alpha^r} \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \frac { f \left( \alpha t _ { i } \right) } { \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { r + 1 } \left( t _ { i } - t _ { j } \right) }=\frac{1}{\alpha^r}[t_1,\dots,t_{r+1}]f(\alpha\cdot)$
- 样本点：$\left[ t _ { 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f = \sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^{l_i}\alpha_{ij}D^{j-1}f(\tau_i),\alpha_{i,l_i}\neq 0\ (i=1,\dots,d)$
- 因式：$\left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] f \cdot g = \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { i } \right] f \cdot \left[ t _ { i } , t _ { i + 1 } , \cdots , t _ { r + 1 } \right] g$
- 消去：$t_1,\dots,t_{r+1}f=[t_1,\dots,t_r]f$
- 导数：$\frac{\part}{\part \tau_i}[t_1,\dots,t_{r+1}]f=l_i[\overbrace{\tau_1,\dots,\tau_1}^{l_1},\dots,\overbrace{\tau_i,\dots,\tau_i}^{l_i+1},\dots,\overbrace{\tau_d,\dots,\tau_d}^{l_d}]f$
- 差分：$\Delta_h^rf(t)=r!h^r[t,t+h,\dotsm,t+rh]f$
$\Delta_h^r f(t)=\sum_{i=0}^r(-1)^{r-i}\mathrm{C}_r^if(t+ih)$ $|\Delta_h^rf(t)|\le 2^r|f|_\infty$ $\Delta_h^rf(t)=\int_0^h\dots\int_0^h D^rf(t+s_1+\dots+s_r)\mathrm{d}s_1\dots\mathrm{d}s_r$
- 定义：$Q _ { i } ^ { m } ( x ) \triangleq \left{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { m } \left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] ( x - \cdot ) _ { + } ^ { m - 1 } } & { y _ { i } < y _ { i + m } } \ { 0 } & { y _ { i } = y _ { i + m } } \end{array} \right.$
- 负：$y_i,\dots,y_{i+m}^{m-1}+=(-1)^mt_i,\dots,t_{i+m}^{m-1}+$
- 1 阶：$Q_i^1(x)=\left{\begin{array}{ll} \frac{1}{y_{i+1}-y_i},&y_i\le x < y_{i+1},\ 0,&\text{other}. \end{array}\right.$
- m 重
- $y_i<y_{i+1}=\cdots=y_{i+m},Q_i^m(x)=\left{\begin{array}{ll} \frac{(x-y_i)^{m-1}}{(y_{i+m}-y_i)^m},&y_i\le x < y_{i+m},\ 0,&\text{other}. \end{array}\right.$
- $y_i=\dots=y_{i+m-1}<y_{i+m},Q_i^m(x)=\left{\begin{array}{ll} \frac{(y_{i+m}-x)^{m-1}}{(y_{i+m}-y_i)^m},&y_i\le x < y_{i+m},\ 0,&\text{other}. \end{array}\right.$
- 递推：$Q_i^m(x)=\frac{(x-y_i)Q_i^{m-1}(x)+(y_{i+m}-x)Q_{i+1}^{m-1}(x)}{y_{i+m}-y_i}$
- 导数：$D_+Q_i^m(x)=(m-1)\frac{Q_i^{m-1}(x)-Q_{i+1}^{m-1}(x)}{y_{i+m}-y_i}$
- 基
- $I_l\triangleq[y_l,y_{l+1}], \mathcal{P}m=\text{span}{Q_i^m(x)}{i=l+1-m}^l$
- 如果
$l<r$ ，$y_{r-1}<y_r$，则${Q_i^m(x)}_{i=l-m+1}^{r-1}$ 在$[y_l,y_r)$ 上是线性无关的
- 规范：$N_i^m(x)\triangleq(y_{i+m}-y_i)Q_i^m(x),N_i^1(x)=\left{\begin{array}{ll} 1, &y_i\le x < y_{i+1},\ 0, &\text{other} \end{array}\right.$
- 剖分：$\forall x\in[y_j,y_{j+1}),\sum_{i=j+1-m}^j N_i^m(x)=1$
- Marsden
$(y-x)^{m-1}=\sum_{i=l+1-m}^r\varphi_{i,m}(y)N_i^m(x)\quad(y_l\le x< y_{r+1})\\varphi_{i,m}(y)=\prod_{\nu=1}^{m-1}(y-y_{i+\nu})$ $x^{j-1}=\sum_{i=l+1-m}^r\xi_i^{(j)}N_i^m(x)\quad(y_l\le x<y_{r+1})\\xi _ { i } ^ { ( j ) } \triangleq ( - 1 ) ^ { j - 1 } \frac { ( j - 1 ) ! } { ( m - 1 ) ! } D ^ { m - j } \varphi _ { i , m } ( 0 ) \quad ( l + 1 - m \leqslant i \leqslant r )$
- 对称函数
- 定义：$\varphi(t)=\prod_{i=1}^p(t-t_i)=\sum_{j=0}^pt^{p-j}(-1)^j\text{symm}_j(t_1,\dots,t_p)$
- 特殊：$\text{symm}_0(t_1,\dots,t_p)=1\ \text{symm}1(t_1,\dots,t_p)=\sum{i=1}^p t_i\ \text{symm}p(t_1,\dots,t_p)=\prod{i=1}^p t_i$
- 公式：$\text{symm}_j(t_1,\dots,t_p)=(-1)^j\frac{D^{p-j}\varphi(0)}{(p-j)!}$
- Marsden：$\xi_i^{(j)}=\frac{\text{symm}{j-1}(y{i+1},\dots,y_{i+m-1})}{C_{m-1}^{j-1}}\x = \sum _ { i = l + 1 - m } ^ { r } \frac { y _ { i + 1 } + y _ { i + 2 } + \cdots + y _ { i + m - 1 } } { m - 1 } N _ { i } ^ { m } ( x )$
- Peano
$\left[ y _ { i } , y _ { i + 1 } , \cdots , y _ { i + m } \right] f = \int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } \frac { ( - 1 ) ^ { j } D _ { + } ^ { j } Q _ { i } ^ { m } ( x ) D ^ { m - j } f ( x ) } { ( m - 1 ) ! } \mathrm { d } x$ - $\int_{y_i}^{y_{i+m}}(-1)^jD^j_+Q_i^m(x)\cdot x^\nu\mathrm{d}x=
\left{\begin{array}{ll}
0,&\nu=0,\dots,j-1\
\frac{\nu!(m-1)!}{(m+\nu-j)!}\rho_{\nu-j}(y_i,\dots,y_{i+m}),&\nu=j,\dots
\end{array}\right.$
$\int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } Q _ { i } ^ { m } ( x ) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { m }$ $\int _ { y _ { i } } ^ { y _ { i + m } } x Q _ { i } ^ { m } ( x ) \mathrm { d } x = \frac { y _ { i } + y _ { i + 1 } + \cdots + y _ { i + m } } { m ( m + 1 ) }$
- 内积：$\int_{-\infty}^{+\infty}Q_i^m(x)Q_j^n(x)\mathrm{d}(x)=\frac{(-1)^m(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}[y_i,\dots,y_{i+m}]x[y_j,\dots,y{j+n}]y(y-x)^{m+n-1}+$
建立空间 $\mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$ 的一个具有局部支集的基底，空间维数为 $m+K$，其中 $K$ 为分割 $\Delta$ 的节点数（计算重节点）。在 $K$ 个节点上仅能定义 $K-m$ 个 B 样条，不能构成空间 $\mathcal{S}$ 的基底，因此必须加进 $2m$ 个点，但不能在区间 $(x_0,x{K+1})$ 内部增加，否则就改变了空间
一个 B 样条需要顺序的
$m+1$ 个节点，而$\mathcal{S}$ 总共有$K$ 个节点，因此可以定义$K-(m+1)+1=K-m$ 个 B 样条引进
$2m$ 个点后，节点数变为$K+2m$ ，可以定义$K+m$ 个 B 样条
定义 9.3 对给定的
${y_i}{i=1}^{2m+K}$ 一种特殊的取法是
$$
y_1=\dots=y_m=a,\quad y{m+K+1}=\dots=y_{2m+K}=b
$$
这样就在 ${y_i}{i=1}^{2m+K}$ 上定义了 $m+K$ 个 B 样条 ${B_i(x)}{i=1}^{m+K}$
$$
B_i(x)=(-1)^m(y_{i+m}-y_i)y_i,\dots,y_{i+m}^{m-1}_+
$$
即为
当限制
根据 B 样条的定义，它是右连续的，因而必须定义
$$
B_{m+K}(b)=\lim_{x\to b-0}B_{m+K}(x)
$$
当
等距节点是指
（基本 B 样条）令 $$ \begin{aligned} Q^m(x) &\triangleq (-1)^m0,\dots,m^{m-1}+\ &=\frac{(-1)^m\Delta^m(x-\cdot)^{m-1}+}{m!}\ &=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i\mathrm{C}m^i(x-i)^{m-1}+}{m!} \end{aligned} $$
相应的规范 B 样条为
$$
N^m(x)=mQ^m(x)
$$
定理 9.11 设
性质 1 $$ \int_0^m N^m(x)\mathrm{d}x=1 $$ 性质 2 $$ \begin{aligned} N^m(x)&=xQ^{m-1}(x)+(m-x)Q^{m-1}(x-1)\ N^m(x)&=N^m(m-x) \end{aligned} $$
性质 3 $$ \begin{aligned} D_+N^m(x)&=N^{m-1}(x)-N^{m-1}(x-1)\ D^j_+N^m(x)&=\nabla ^jN^{m-j}(x)=\sum_{k=0}^j(-1)^k\mathrm{C}_j^k N^{m-j}(x-k) \end{aligned} $$
$\nabla$ 是向后差分算子，即$\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)$
性质 4 $$ \Delta ^mf(0)=\int_0^mN^m(x)D^mf(x)\mathrm{d}x $$
性质 5 $$ N^m(x)=\left(N^1 \star N^{m-1}\right)(x)=\int_0^1 N^{m-1}(x-t)\mathrm{d}t\quad(m\ge 2) $$
性质 6 B 样条的 Fourier 变换
$$
\begin{aligned}
\hat{N}^m(\omega)
&=\int_\mathbb{R}N^m(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x\
&=\left(\hat{N}^1(\omega)\right)^m\
&=\left(\int_0^1 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x\right)^m\
&=\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega}}{\mathrm{i}\omega}\right)^m
\end{aligned}
$$
其中
性质 7 对每个连续函数
等距节点关于原点对称的 B 样条
$$
M^m(x)\triangleq (-1)^mm\left[-\frac{m}{2},-\frac{m}{2}+1,\dots,\frac{m}{2}\right]=N^m\left(x+\frac{m}{2}\right)
$$
关于原点对称
$$
M^m(x)= N^m\left(x+\frac{m}{2}\right)=N^m\left(m-x-\frac{m}{2}\right)=N^m\left(-x+\frac{m}{2}\right)=M^m(-x)
$$
定理 9.12 对所有的
(1)
$$
M^m(x)=\left(M^i\star M^{m-i}\right)(x)=\int_{\mathbb{R}}M^i(t)M^{m-i}(x-t)\mathrm{d}t
$$
(2)
$$
M^m(x)=\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R}\psi_m(\omega)e^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega
$$
即
样条——开花 $$ s(x)=\sum_{i=l+1-m}^lc^{[0]}iN^m_i(x) $$ 导数——算一阶再开花 $$ D+s(x)=\sum_{i=l+2-m}^l c^{[1]}_iN^{m-1}_i(x)=s^\prime(x)\ c^{[1]}i = \frac{(m-1)(c^{[0]}i-c^{[0]}{i-1})}{y{i+m-1}-y_i} $$
$b(u)=\sum_{i=0}^n b_iB^n_i(u)\b_i=b(\underbrace{0,\dots,0}_{n-i},\underbrace{1,\dots,1}_i)$ - $b(u)=\sum_{i=0}^n b(\underbrace{a,\dots,a}{n-i},\underbrace{b,\dots,b}{i})B^n_i(u)\B^n_i(u)=\mathrm{C}_n^i\left(\frac{u-a}{b-a}\right)^i\left(\frac{b-u}{b-a}\right)^{n-i}=\mathrm{C}_n^it^i(1-t)^{n-i},t=\frac{u-a}{b-a}$
定理 10.3 设已知
定理 10.4 设
第一类 Tchebycheff 多项式
$T_m(x)=\cos(m\arccos x) \quad (-1\le x\le 1)$ -
$T_m(x)$ 是关于$x$ 的$m$ 次的多项式 -
$T_m(x)$ 的递推公式：$T_0(x)=1\ T_1(x)=x\ T_m(x)=2xT_{m-1}(x)-T_{m-2}(x)\quad(m=2,3,\dots)$ -
$T_m(-1)=(-1)^m$ ，$T_m(1)=1$，$T_m(-x)=(-1)^mT_m(x)$ -
$T^\prime_m(x)$ 的零点为$\cos\frac{\pi i}{m}\ (i=1,\dots,m-1)$ ，$T_m(x)$ 在这些零点上取极值 -
$T_m(x)$ 满足微分方程$(1-x^2)T_m^{\prime\prime}(x)-xT_m^\prime(x)+m^2T_m(x)=0$
完全 B 样条
- $y_i=\cos\frac{m-i}{m}\pi\ (i=0,\dots,m),B^*m(x)\triangleq (-1)^m my_0,\dots,y_{m}^{m-1}+$
$B _ { m } ^ { * } ( - x ) = B _ { m } ^ { * } ( x )$ $\int_{-1}^1 B^*_m(x)\mathrm{d}x=1$
已知样条空间 $\mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$ 的维数为 $m+K$，它有一组 B 样条基 ${N_i^m(x)}{i=1}^{n}\ (n=m+K)$
问题：$\forall f\in C[a,b]$，求 $Qf\in \mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$ 逼近 $f$，显然 $Qf$ 可表为
$$
Qf=\sum{i=1}^n c_iN_i^m(x)
$$
其中
要求
定义 11.2 设 ${\lambda_i}{i=1}^n$ 是一组定义在空间 $\mathcal{S}=\text{span}{N^m_i(x)}{i=1}^n$ 上的连续线性泛函，若
当
m = 1
- 点泛函
$$ \lambda_j=[y_j]\quad(j=1,\dots,n) $$
- 局部积分
$$ \lambda_js=\int_{y_j}^{y_{j+1}}\frac{s(t)}{y_{j+1}-y_j}\mathrm{d}t\quad(j=1,\dots,n) $$
m = 2
- 点泛函
$$ \lambda _ { j } s \triangleq \left{ \begin{array} { l l } { s \left( y _ { j + 1 } \right) } & { y _ { j } < y _ { j + 1 } < y _ { j + 2 } } \ { s \left( y _ { j + 1 } + \right) } & { y _ { j } = y _ { j + 1 } < y _ { j + 2 } } \ { s \left( y _ { j + 1 } - \right) } & { y _ { j } < y _ { j + 1 } = y _ { j + 2 } } \end{array} \right. $$
- 局部积分
设
$0<\epsilon<1$ ，定义 $$ \lambda_js=\int_{y_j}^{y_{i+2}}s(t)\varphi_j(t)\mathrm{d}t $$ 若$h_{j+1}=y_{j+2}-y_{j+1}>0$ ，则有 $$ \varphi_j(t)=\left{\begin{array}{ll} \frac{1+\epsilon}{\epsilon h_{j+1}}&y_{j+1}\le t<y_{j+1}+\epsilon h_{j+1}\ \frac{-\epsilon}{(1-\epsilon)h_{j+1}} &y_{j+1}+\epsilon h_{j+1}\le t<y_{j+2}\ 0 & \text{other} \end{array}\right. $$ 若$h_j=y_{j+1}-y_j>0$ ，则 $$ \varphi_j(t)=\left{\begin{array}{ll}\frac{-\epsilon}{\epsilon (1-\epsilon)h_{j+1}}&y_{j+1}\le t<y_{j+1}+(1-\epsilon) h_{j+1}\\frac{1+\epsilon}{\epsilon h_{j+1}} &y_{j+1}+(1-\epsilon) h_{j+1}\le t<y_{j+2}\0 & \text{other}\end{array}\right. $$
定理 11.7（扩充的 Rolle 定理）设
符号改变
$S^-(v)\le S^+(v)$ $S^+(v_1,-v_2,\dots,(-1)^{r-1}v_r)+S^-(v_1,v_2,\dots,v_r)=r-1$ $S^-_I(f)\le S^+_I(f)$
定理 11.8（Budan-Fourier 定理）
(1) 设 $0\neq p\in \mathcal{P}m$，则
$$
Z^*{(a,b)}(p)\le S^-[p(a),Dp(a),\dots,D^{m-1}p(a)]-S^-[p(b),Dp(b),\dots,D^{m-1}p(b)]
$$
(2) 如果
- 多项式的 Descartes 法则：$Z^*{(0,\infty)}\left(\sum{i=1}^m c_it^{i-1}\right)\le S^-(c_1,\dots,c_m)$
定义 11.8 对给定样条函数 $s\in \mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$ 和某一实数 $t\in \mathbb{R}$，如果 $s$ 不在任何包含 $t$ 的区间上恒等于 0，且
$$
\begin{aligned}
s(t-)=D-s(t)=\dots=D^{l-1}-s(t) = 0\neq D^l-s(t)\
s(t+)=D_+s(t)=\dots=D^{r-1}+s(t) = 0\neq D^r+s(t)\
\end{aligned}
$$
则称
函数
$f$ 在$t$ 点改变符号，是指对充分小的$\epsilon >0,f(t-\epsilon)f(t+\epsilon)<0$ 如果
$s$ 在$t$ 点有一个越过$x$ 轴的跳跃（即$r=l=0$ ，$s$ 在$t$ 点改变符号），根据定义，$t$ 点应为$s$ 的 1 重零点
定义 11.9 若对
类似地，若对
对于内部零区间，即
若样条函数
$s$ 在某一区间中恒等于 0，则该区间的端点或者是$\pm \infty$ ，或者是样条节点样条函数
$s$ 经过零区间$(x_p,x_q)$ 改变符号，是指对任意$\epsilon>0$ ，都存在$x_p-\epsilon<t_1<x_p<x_q<t_2<x_q+\epsilon$ ，使得$s(t_1)s(t_2)<0$
定义 11.10 给定样条函数
定理 11.9 设 $s\in \mathcal{S}(\mathcal{P}m,\mathfrak{M},\Delta)$，则 $D+s(x)$ 对所有的
定义 12.1 设函数组 $U\triangleq{u_i(t)}{i=1}^m\subset C[I]$，$U$ 称为 $I$ 上的 T 系统，是指 $\forall \tau\in I^m{0,0}$，有
$$
D\left(\begin{array}{c}\tau\ U\end{array}\right)\triangleq
D\left(\begin{array}{c}
t_1,&\dots,&t_m\
u_1,&\dots,&u_m
\end{array}\right)>0
$$
定义 12.2 一个
定理 12.1 如果 $U\triangleq {u_i(t)}{i=1}^m$ 是区间 $I$ 上的 $T$ 系统，则对所有不全为 0 的实数 ${c_i}{i=1}^m$，有
$$
Z_I\left(\sum_{i=1}^m c_iu_i\right)\le m-1
$$
定理 12.2 如果
定义 12.3 ${u_i}{i=1}^m$ 称为完全的 T 系统 complete Tchebycheff system，简称为 CT 系统，指对于 $k=1,2,\dots,m$，${u_i}{i=1}^k$ 是一个 T 系统
定义 12.4 ${u_i}{i=1}^m$ 对所有的 $1\le i_1<\dots<i_k\le m$ 和任意 $1\le k \le m$，${u{i_p}}{p=1}^k$ 都是一个 T 系统，则称 ${u_i}{i=1}^k$ 为有序的完全 T 系统 order complete Tchebycheff system，简称为 OCT 系统
定理 12.3（Descartes 符号规则） 设 ${u_i}{i=1}^m$ 是一个 OCT 系统，则对任意不全为 0 的实数 ${c_i}{i=1}^m$，都有
$$
Z\left(\sum_{i=1}^m c_iu_i\right)\le S^-(c_1,\dots,c_m)
$$
定义 12.5 设
定理 12.4 设 $U\triangleq {u_i}{i=1}^m$ 是区间 $I$ 上的 ET 系统，则对不全为 0 的实数 ${c_i}{i=1}^m$，有
$$
Z_I^{m-1}\left(\sum_{i=1}^mc_iu_i\right)\le m-1
$$
反之，如果
定理 12.5 如果 $U\triangleq{u_i}{i=1}^m$ 是一个 OCET 系统，则对于任何不全为 0 的实数 ${c_i}{i=1}^m$，有 $$ Z^{m-1}I\left(\sum{i=1}^m c_iu_i\right)\le S^-(c_1,\dots,c_m) $$
定义 12.6 设集合
推论 12.1 设
推论 12.2 设
定理 12.6 设 $U={u_i}{i=1}^m$ 是定义在集合 $I$ 上的线性无关的 $m$ 个函数，如果 $U$ 是 WT 系统，则对于任意不全为 0 的实数 ${c_i}{i=1}^m$ 都有
$$
S^-I\left(\sum{i=1}^m c_iu_i \right)\le m-1
$$
反之，若上述不等式对任意不全为零的 ${c_i}{i=1}^m$ 都成立，则 $U$ 或 $\widetilde{U}\triangleq {u_1,\dots,u{m-1},-u_m}$ 是
推论 12.3 样条空间
定理 12.7 设 ${u_i}{i=1}^m$ 是 $I$ 上的 OCWT 系统，则对所有不全为 0 的 ${c_i}{i=1}^m$，有 $$ S^-I\left(\sum{i=1}^m c_iu_i\right)\le S^-(c_1,\dots,c_m) $$
设
定理 12.8（Schoenberg-Whittney 定理）设
推论 12.6
定理 12.9 对任意整数列
推论 12.7（变差缩减 Variation-diminishing V-D 性质）对所有不全为 0 的 ${c_i}{i=1}^m$，有
$$
S^-{\mathbb{R}}\left(\sum_{i=0}^n c_iN^m_i(x)\right)\le S^-(c_1,\dots,c_m)
$$
定义 12.7 修改的 Hermite 插值问题定义如下。设
分割
$$
a=y_1=\dots=y_m<y_{m+1}\le y_{m+2}\le \dots\le y_n<y_{n+1}=\dots=y_{n+m}=b
$$
且
定理 12.11 对于
形如
$Ag=\sum_{i=1}^n g(\tau_i)N^m_i(x)\in \mathcal{S}\quad (a\le x\le b)$ 的逼近函数一般不能达到$O(h^m)$ ，本节的 Schoenberg V-D 逼近也是如此
Schoenberg 的 V-D 逼近
$$
Vg\triangleq \sum_{i=1}^n g(t_i^)N^m_i(x)
$$
其中
$$
t_i^\triangleq \frac{y_{i+1}+\dots+y_{i+m-1}}{m-1}\quad(i=1,\dots,n)
$$
当
当
令
$$
Ag=\sum_{i=1}^n(\mu_ig)N^m_i(x)
$$
其中
定理 12.12 设
定理 12.13 设
$$
Ag=\sum_{i=1}^n(\mu_ig)N^m_i(x)
$$
其中对于