Těžké věty.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "265ce14c-1bb0-443d-a1b0-19033ef8d7ce",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Těžké věty"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "11f717ac-baa7-46df-9df5-bf81575b5ab3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Aritmetika limit - rozšířená verze (5.1.21)\n",
    "Nechť $f,g: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R},x_0 \\in \\mathbb{R}^{*},D_f = D_g, \\lim_{x \\to x_0}f(x) = A \\in \\mathbb{R}^{*}, \\, a \\, \\lim_{x \\to x_0}g(x) = B \\in \\mathbb{R}^{*}$. Pak:\n",
    "\\\n",
    "(i) $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)+g(x)) = A + B$, má-li pravá strana smysl\n",
    "\\\n",
    "(ii) $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)g(x)) = AB$, má-li pravá strana smysl\n",
    "\\\n",
    "(iii) $\\lim_{x \\to x_0}(\\frac{f(x)}{g(x)}) = \\frac{A}{B}$, má-li pravá strana smysl\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Jestliže $A,B \\in \\mathbb{R}$, tak můžeme prostě použit postup z důkazu aritmetiky limit z kapitoly o vlastní limitách. Jinak používáme zesílenou aritmetiku nevlastních limit. \n",
    "# Zesílená aritmetika nevlastních limit (5.1.23)\n",
    "Nechť $f,g: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}^{*}, D_f = D_g, \\Delta > 0, \\alpha \\in \\mathbb{R} \\, a \\, \\beta >0$. Pak:\n",
    "\\\n",
    "(i) Je-li $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = + \\infty$ a $g \\geq \\alpha$ na $P_\\Delta (x_0) \\cap D_g$, pak $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)+g(x)) = + \\infty$.\n",
    "\\\n",
    "(ii) Je-li $\\lim_{x \\to x_0}f(x) = -\\infty$ a $g\\leq \\alpha$ na $P_\\Delta \\cap D_g$, pak $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)+g(x)) = - \\infty$\n",
    "\\\n",
    "(iii) Je-li $\\lim_{x \\to x_0}f(x) = \\pm \\infty$ a $g\\geq \\beta$ na $P_\\Delta \\cap D_g$, pak $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)g(x)) = \\pm \\infty$\n",
    "\\\n",
    "(iv) Je-li $\\lim_{x \\to x_0}f(x) = \\pm \\infty$ a $g\\leq -\\beta$ na $P_\\Delta \\cap D_g$, pak $\\lim_{x \\to x_0}(f(x)g(x)) = \\mp \\infty$\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "\\\n",
    "Nejprve dokažme (i) pomocí řetězu ekvivalencí. Z předpokladů plyne:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0}f(x) = +\\infty\n",
    "\\iff \\forall K > 0 \\exists \\delta >0 \\forall x \\in P_{\\delta}(x_0) \\cap D_f \\, f(x) + \\alpha > K \\implies \\\\ \\implies \\forall K > 0 \\exists \\delta >0 \\forall P_\\delta (x_0) \\cap P_\\Delta (x_0) \\cap D_f \\cap D_g \\, f(x) + g(x) > K \\iff \\lim_{x \\to x_0} f(x)+g(x) = +\\infty\n",
    "$$\n",
    "Část (ii) dokážeme podobným postupem. Třetí však již trochu jinak. Pro limitu, kdy $\\lim_{x\\to x_0}f(x) = + \\infty$. Máme:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} f(x) = + \\infty\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\iff \\forall K >0 \\exists \\delta > 0 \\forall x \\in P_\\delta (x_0) \\cap D_f \\, f(x) > K\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\iff \\forall K >0 \\exists \\delta > 0 \\forall x \\in P_\\delta (x_0) \\cap D_f \\, \\beta f(x) > K\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "=> \\forall K >0 \\exists \\delta > 0 \\forall x \\in P_\\Delta (x_0) \\cap D_f \\cap D_g \\, f(x)g(x)> K\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} f(x)g(x) = + \\infty\n",
    "$$\n",
    "Zbylá tvrzení dokazujeme podobně. Plyne to celkem z definic, takže to není zas tak těžké. $\\square$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "c0785003-a6f2-463c-bd67-e2367ff2d04d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Darbouxova věta (6.2.1)\n",
    "Nechť $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ je spojitá na $[a,b] \\subset \\mathbb{R}$. Pak na $[a,b]$ nabývá všech hodnot mezi $f(a)$ a $f(b)$\n",
    "\n",
    "\\\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $f(a) < f(b)$ (pokud $f(a)=f(b)$, netřeba nic dokazovat). Pokud $f(a)>f(b)$, pak jen přehodíme znaménko funkce. Zvolme $A \\in (f(a), f(b))$. Označme:\n",
    "$$\n",
    "M = \\{x \\in [a,b]: f(x) < A\\} \\; \\text{a} \\; c= \\sup(M) \n",
    "$$\n",
    "Očividně není možné, aby $M = \\emptyset$ (Množina bude obsahovat vždy alespoň okrajové body.). Z toho důvodu bude $c \\in [a,b]$. Ze spojitosti funkce $f$ v bode $b$ plyne, že $c\\neq b$. Podobně platí $c \\neq a$, a tedy $c \\in (a,b)$. Dále nemůže platit, že by bylo $f(c) < A$(v rozporu s definicí) - existovalo by nějaké okolí bodu $c$, které by leželo v M a $c$ by nemohlo být supremem. Když by naopak platilo, že $f(c) >A $, tak by zase ze spojitosti okolí bodu $c$ bylo celé mimo množinu a znovu by nemohlo být supremem. Nutně pro všechny podmnožiny vybrané stanoveným způsobem musí platit, že $f(c) = A$ a nabývá tedy právě hodnoty $A$(postupně všechny body funkce na daném intervalu) $\\square$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3ea59301-6d4a-4cc0-a2fa-e496c99c8fb3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Derivace složené funkce (3.3.14)\n",
    "Nechť $f,g: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}, f'(x_0) \\in \\mathbb{R}, g'(f(x_0)) \\in \\mathbb{R}$. Pak:\n",
    "$$\n",
    "(g o f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)\n",
    "$$\n",
    "\\\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Uvažme dva případy. Nejprve nechť $f'(x_0) \\neq 0$. Nutně pak existuje prstencové okolí bodu $x_0$, na němž máme $\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ odražené od nuly, proto také $f(x) \\neq f(x_0)$. Zároveň máme $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = f(x_0)$ (spojitost). Dále má tedy smysl provést odvození pomocí aritmetiky limit. Začněme tedy rozepsáním:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} \\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} = \\lim_{x \\to x_0} \\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\lim_{x \\to x_0} \\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} = f'(x_0) g'(f(x_0))\n",
    "$$\n",
    "Když však náhodou nastane, že $f'(x_0)=0$, tak musí platit, že $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}  = 0$ a tedy:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta_1}(x_0) \\implies \\left|\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\right| < \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Ze spojitosti $f$ a konečnosti (jinými slovy omezenosti)$g'(f(x_0))$ a Větě o vztahu limity a omezenosti (3.1.21 - jednoduché věty). Tedy existují taková $\\delta_2 >0$ a $K>0$ taková, že:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta_2} \\land f(x) \\neq f(x_0) \\implies \\left|\\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\\right| \\leq K\n",
    "$$\n",
    "Nyní uděláme klasický typický trik a položíme $\\delta = min(\\delta_1, \\delta_2)$, Budou na prstencovém okolí tedy platit, obě podmínky a:\n",
    "$$\n",
    "\\left|\\frac{g(f(x))- g(f(x_0))}{x-x_0}\\right|=\\left|\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\right| \\left|\\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\\right| < K \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Zase ekvivalentní definice limity lmao. Celkově tedy platí, že:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta} (x_0) \\implies \\left|\\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}\\right| < K \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Jinými slovy $(g o f)' = 0$, zase alternativní definice limity a protože $\\epsilon$ může být jakkoliv malé, tak pošle celou pravou stranu nerovnosti do nuly. DOKÁZÁNO. $\\square$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f2dd19bb-371b-4026-94e8-78425463056c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Derivace inverzní funkce (3.3.16)\n",
    "Nechť $x_0 \\in \\mathbb{R} \\, a \\, f:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ splňuje následující:\n",
    "- (i) existují  $\\alpha, \\beta_1, \\beta_2 > 0$ taková, že $f$ je prosté na $(x_0-\\alpha, x_0 + \\alpha)$ a zobrazuje tento interval na $(f(x_0)-\\beta_1, f(x_0)+\\beta_2)$\n",
    "- (ii) existuje vlastní nenulová derivace v bodě $x_0$\n",
    "- (iii) $f^{-1}$ je spojitá v bodě $y_0 = f(x_0)$.\n",
    "Pak existuje derivace $f^{-1}$ v bodě $y_0$ a platí:\n",
    "$$\n",
    "(f^{-1})'(y_0) = \\frac{1}{f'(x_0)}\n",
    "$$\n",
    "Čili:\n",
    "$$\n",
    "(f^{-1})'(f(x_0)) = \\frac{1}{f'(x_0)}\n",
    "$$\n",
    "Alternativně:\n",
    "$$\n",
    "(f^{-1})'(y_0) = \\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "*Důkaz:* Protože $f'(x_0) \\neq 0$, máme na jistém prstencovém okolí $P_{\\delta}(x_0)$ diferenční podíly nenulové, a proto lze definovat pomocnou funkci:\n",
    "$$\n",
    "h(x) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "  \\frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} & \\text{for } x \\in P_\\delta(x_0) \\\\\n",
    "  \\frac{1}{f'(x_0)} & \\text{for } x = x_0\n",
    "\\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "Podle aritmetiky limit a definice derivace je tato funkce spojitá v $x_0$. Nyní již stačí použít definici derivace a, že $f^{-1}$ existuje na jistém okolí bodu $f(x_0)$(využíváme předpokladu ii), a větu o spojitosti složené funkce (3.2.9) a předpokladu (iii) v kombinaci se spojitostí h v $x_0$. \n",
    "$$\n",
    "(f^{-1})'(f(x_0)) = \\lim_{y \\to f(x_0)} \\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)} = \\lim_{y \\to f(x_0)}h(f^{-1}(f(x_0))) = h(x_0) = \\frac{1}{f'(x_0)}\\,.\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5d586727-fbc9-476d-a3c1-06aff904d2fc",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Nabývání extrémů na intervalu (6.1.7)\n",
    "Nechť $[a,b] \\subset \\mathbb{R}$ a $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ je spojitá na $[a,b]$. Pak zde nabývá svého maxima a minima.\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Označme $S = \\sup_{x \\in [a,b]}f(x)$. Z definice suprema existuje posloupnost {$x_n$} $\\subset [a,b]$ taková, že $f(x_n) \\to S$. Dále podle Weierstrassovy věty (5.5.4) existuje{$x_{n_k}$} $\\subset$ {$x_n$} taková, že $x_{n_k} \\to x_0 \\in [a,b]$. Celkově:\n",
    "$$\n",
    "x_{n_k} \\to x_0 \\, a \\, f(x_{n_k}) \\to S\n",
    "$$\n",
    "Ze spojitosti $f$ v bodě $x_0$ dostáváme, že $S = f (x_0) \\in \\mathbb{R}$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d9b9c235-e9ee-4548-960b-fbc08f31a70d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# L' Hospitalovo pravidlo\n",
    "Mějme $f,g : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}^{*}$. Nechť dále \n",
    "(i) na jistém prstencovém okolí bodu $x_0$ existují vlastní $f'$, $g'$ a platí zde, že $g' \\neq 0$\n",
    "\\\n",
    "(ii) $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f'(x)}{g'(x)} = A \\in \\mathbb{R}^*$ \n",
    "(iii) platí jedna z podmínek níže:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} f(x) = \\lim_{x \\to x_0}g(x) = 0\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\lim |g(x)| = + \\infty\n",
    "$$\n",
    "Pak $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x)}{g(x)} = A$.\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Začněme situiací, kdy $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = \\lim_{x \\to x_0} g(x) = 0$. Zabývejme s enejprve případem $x_0 \\in \\mathbb{R}$ a pravostranné limity $\\lim_{x \\to x_0^+}$(obecný případ včetně přechodu k oboustranné limitě je pak níž lol)\n",
    "Funkce $f,g$ dodefinujme v bodě $x_0$ hodnotou 0, abychom mohli použít Cauchyho věty. Ke každému $x \\in (x_0, x_0 + \\delta)$, proto existuje $\\xi_x \\in (x_0, x)$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "\\frac{f(x)}{g(g)} = \\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \\frac{f'(\\xi_x)}{g'(\\xi_x)}\n",
    "$$\n",
    "Limitním přechodem $x \\to x_0^+$ dostaneme požadovaný výsledek. Nyní ta druhá, horší část.\n",
    "\n",
    "Cauchy(6.3.13):\n",
    "$$\n",
    "\\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \\frac{f'(y)}{g'(y)}\n",
    "$$\n",
    "První část (0/0):\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\n",
    "$$\n",
    "Dodefinuji ty body v $x_0$ limitou, abych mohl použít Cauchyho větu.\n",
    "a získám:\n",
    "$$\n",
    "\\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \\frac{f'(x_é)}{g'(x_0)}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "62d7d080-8947-4bcd-9bfc-01020b611504",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Inverze spojité, monotónní funkce (6.2.10)\n",
    "Nechť $f: (a,b) \\to \\mathbb{R}$ je ryze monotónní a spojitá na (a,b). Pak existuje spojitá $f^{-1}$ na $f((a,b))$ a má stejný typ monotonie jako $f$.\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Uvažme jen případ rostoucí funkce, protože ke klesající prostě jenom obrátíme znaménko. Podle věty o existenci limity pro monotonní funkci (5.1.12) máme definováno:\n",
    "$$\n",
    "\\alpha = \\lim_{x \\to a^{+}}f(x) = \\inf_{(a,b)}f\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\beta = \\lim_{x \\to b^{-}}f(x) = \\sup_{(a,b)} f\n",
    "$$\n",
    "Díky ryzí monotonii na původním intervalu $(a,b)$ musí notně platit, že $\\alpha < \\beta$. Když $\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R}$ (nezahrnuje nekonečna), tak můžeme spojitě dodefinovat $f(a)=\\alpha, f(b)=\\beta$, čímž neztratíme monotonii (pořád zachováváme nerovnost). Zřejmě potom $f$ zobrazuje $[a,b]$ do $[\\alpha,\\beta]$. Navíc je díky spojitosti v kombinaci s Darbouxem (6.2.1)(je spojitá, a tedy nabývá všech mezibodů) toto zobrazení na. Proto musí notně existovat také inverze, která je spojitá díky Větě o vztahu spojitosti a tvaru obrazu pro monotonní funkci (6.2.9). Pokud bychom vstoupili do prostoru nekonečen musíme provést nějaký další trik, na který se musím \n",
    "### ZEPTAT"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6334201f-0a0e-447a-80b6-31653d1827ad",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Bolzano Weierstrassova věta\n",
    "Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní podposloupnost.\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Důkaz si zakládá na využití věty o dvou strážnících(5.1.27), protože je zatím ale nemáme, tak musíme tyto represivní složky nějak vytvořit. Označme naši posloupnost $(a_n)$. Z její omezenosti plyne, že můžeme najít jakési $A_0,B_0 \\in \\mathbb{R}$ tak, že $A_0 \\leq a_n \\leq B_0$ pro všechna $n \\in \\mathbb{N}$. Strážníky budeme konstruovat z posloupností $(A_n)$ a $(B_n)$ indkucí. Postupně si definujme $C_n \\frac{A_{n-1} + B_{n-1}}{2}$. Celkem mohou nastat dva různé případy a sice ten, kdy interval $[A_{n-1},C_n]$ obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti a kdy ne (pak se ještě může stát, že ob dva intervaly mají nekonečně mnoho členů posloupnosti, tehdy volíme náhodně, protože to je jedno). Pokud je na zmíněném intervalu nekonečně mnoho členů vytvoříme si nový interval $[A_{n-1},C_n]$ a definujeme $A_n = A_{n-1}$ a $B_n = C_n$. V opačném případě pak volíme nový interval $[C_n, B_{n-1}]$. Získané posloupnost $A_n$ a $B_n$ jsou potom pochopiotelně monotónní a omezené (intervalem $[A_0, B_0]$). Odtud plyne, že musí mít nějaké vlastní limity a protože:\n",
    "$$\n",
    "B - A \\leftarrow B_n - A_n = 2^{-n}(B_0 - A_0) \\to 0\n",
    "$$\n",
    "(Jinak napsáno, že ten rozdíl dvou limit A a B se se zvyšujícím $n$ blíží k nule, což dá rozum, protože neustále půlí svou vzdálenost mezi sebou (čleb $2^{-n}$) a tak se docela rychle přibližují). Nyní, když máme potvrzené, že existují dva strážnící (limitní hodnoty $A$ a $B$) tak jen zkonstruujeme podposloupnost vlastností ze zadání. Znovu indukce :(. Vyberme si libovolné $n_0 \\in \\mathbb{N}$. Zřejmě pak máme $a_{n_{n_0}} \\in [A_0, B_0]$. Máme-li již zadefinováno $n_{k-1}$, číslo $n_k$ definujeme tak, aby splňovalo $n_{k-1} < n_k$ a $a_{n_k} \\in [A_k, B_k]$ (což jde, protože jsme vždy volili interval, kde pokračuje nekonečnost a my jsme se omezili na nejvýše $n_{k-1}$.). Tím je zkonstruována podposloupnost, která je konvergentní, protože přeci:\n",
    "$$\n",
    "A \\leftarrow A_k \\leq a_{n_k} \\leq Bk \\to A\n",
    "$$\n",
    "$\\square$\n",
    "### Poznámka pro sebe\n",
    "Metoda půlení intervalu programko, for cyklus. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e0f1cfde-3b2f-4d4d-bfa9-8eb02099aa75",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Bolzano - Cauchyho podmínka a konvergence posloupnosti (5.6.1)\n",
    "Nechť $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}^*$ a pro každé $\\eta>0$ platí, že $P_\\eta (x_0) \\cap D_f \\neq \\emptyset$. Pak vlastní $\\lim_{x \\to x_0}f(x)$ existuje tehdy, když je splněna Bolzano-Cauchyho podmínka:\n",
    "$$\n",
    "\\forall \\epsilon > 0 \\exists \\delta >0 \\forall x,y \\in P_{\\delta}(x_0) \\cap D_f => |f(x)-f(y)| < \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Nechť $\\lim_{x \\to x_0}f(x) = A \\in \\mathbb{R}$ a $\\epsilon > 0$. Pak existuje právě $\\delta > 0 $ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "z \\in P_\\delta (x_0) \\cap D_f \\implies |f(z) - A| < \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Pro $x,y \\in P_\\delta(x_0)\\cap D_f$ tedy máme:\n",
    "$$\n",
    "|f(x)-f(y)| \\leq |f(x)-A|+|A-f(y)| < 2 \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Dokažme nyní opačnou implikaci. Nejprve položmě $\\epsilon = 1$. Pak existuje $\\delta >0$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "x,y \\in P_\\delta (x_0) \\cap D_f \\implies |f(x) - f(y)| < 1\n",
    "$$\n",
    "Zafiujeme-li jedno $y \\in P_\\delta(x_0) \\cap D_f$, dostáváme, že $f$ je omezená na $P_\\delta (x_0) \\cap D_f0$. Pro každé $n \\in \\mathbb{N}$ uvažme dále volbu $\\epsilon  = \\frac{1}{n}$, které podle B-C podmínky odpovídá nějaké $P_{\\delta_n}$ a zafixujeme nějaké $x_n \\in P_{\\delta_n}(x_0) \\cap D_f$. Pak máme:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta_n}(x_0) \\cap D_f \\implies |f(x)-f(x_n)|< \\frac{1}{n}\n",
    "$$\n",
    "Protože víme, že posloupnost $(f(x_n))$ je omenzená. Podle Weierestrassovy věty tedy lze nají nějakou další posloupnost $(x_{n_k}) \\subset (x_n)$ tak, že bude konvergovat k nějakému bodu $A$. Nyní nám zbývá ověřit, že existuje $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = A$. Zvolme si $\\epsilon > 0 $. Díky vlastnosti konvergence k $A$ umíme najít takové $k \\in \\mathbb{N}$ tak velké, že $|f(x_{n_k})-A|< \\epsilon$ a $\\frac{1}{n_k}< \\epsilon$. Proto podle B-C (5.6.1) MÁME:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta_{n_k}}(x_0) \\cap D_f \\implies |f(x)-A| \\leq |f(x)-f(x_{n_k})| + |f(x_{n_k})-A| < \\epsilon \\frac{1}{n_k} \\leq 2 \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "$\\square$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "116d6e74-e285-43af-8e14-0e67e2720533",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Heineho věta (5.4.1)\n",
    "Nechť funkce $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}^{*}, A \\in \\mathbb{R}^{*}$ a pro každé $\\delta >0$ platí, že $P_{\\delta}(x_0) \\cap D_f \\neq \\emptyset$. Potom $\\lim_{x \\to x_0}f(x) = A$ právě tehdy, když $\\lim_{n \\to \\infty}f(x_n)=A$ pro každou posloupnost $(x_n) \\subset D_f -(x_0)$ splňující $x_n \\to x_0$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "$\\implies$ Zvolme $\\epsilon > 0$. Potom k němu existuje $\\delta >0$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "x \\in P_{\\delta} (x_0) \\implies f(x) \\in U_{\\epsilon}(A) \n",
    "$$\n",
    "Pokud nyní uvážíme posloupnost $(x_n) \\subset D_f - (x_0)$ splňující $x_n \\to x_0$ od nějakého indexu musí notně platit, že $x_n \\in P_{\\delta}(x_0)$ odkud potom plyne druhá limita. Nyní dokažme opačnou implikaci. Sporem předpokládáme že $\\lim_{x \\to x_0}f(x) \\neq A$. Potom s jistotou existuje $\\epsilon >0$ takové, že pro každé $\\delta > 0$ existuje $x_{\\delta} \\in P_{\\delta}(x_0)$ tak, že $f(x_\\delta) \\notin U_{\\epsilon}(A)$. Zvolíme-li vhodně posloupnost okolí $P_{\\delta_n}(x_0)$ (pro $x_0 \\in \\mathbb{R}$ stačí uvážit $P_{\\frac{1}{n}}(x_0)$), pro $x_0 = + \\infty$ bereme $(n, +\\infty)$. Máme posloupnost $x_{\\delta_n}$, která splňuje, že leží v definičním oboru a pro dostatečně velká $n$ $x_{\\delta_n} \\to x_0$, ale $f(x_{\\delta_n})$ nekonverguje k $A$, což je sporem."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "58b45de8-e93e-41bf-9f13-6837553fa58a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Aproximační vlastnost Taylorova polynomu (Peanova) (6.8.4)\n",
    "Nechť $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 \\in \\mathbb{R}, n \\in \\mathbb{N}\\; \\text{a}\\; f^{(n)}(x_0) \\in \\mathbb{R}$. Pak existuje právě jeden polynom $Q_n$ stupně nejvýše $n$ takový, že:\n",
    "$$\n",
    "f(x) - Q_{n}(x) = o((x-x_0)^n)\n",
    "$$\n",
    "Navíc $Q_n = P_n$\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Krok 1: Aproximační vlastnost Taylorova polynomu. Nejprve nechť $n=1$. Protože $P_1(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$, dokazovaná vlastnost:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x)-P_1(x)}{x-x_0} = 0 \\iff \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x) - f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0} = 0 \n",
    "$$\n",
    "plyne z existence vlastní $f'(x_0)$. Nyní uvažujme $n\\geq 2$. Použijeme (n-1)-krát l'Hospitalovo pravidlo a dostáváme:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x)- \\sum_{k=0}^{n} \\frac{f^{k}(x_0)}{n!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n} = \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f'(x) - \\sum_{k=1}^{n} \\frac{f^{k}k(x_0)}{n!}(x-x_0)^{k-1}}{n(x-x_0)^{n-1}} = ffw \\stackrel{\\text{l'Hospital}}{=} \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f^{(n-1)}(x)- f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(x-x_0)}{n!(x-x_0)} = \\frac{1}{n!} (f^{(n)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)) = 0\n",
    "$$\n",
    "Krok 2: jednoznačnost.\n",
    "Předpokládejme, že požadovanou aproximační vlastnost má ještě jeden polynom $Q_n$ se stupněm nejvýše $n$. Polynom $Q_n - P_n$ má stupeň nejvýše $n$ ,a proto jej můžeme přepsat (metodou postupného dělení se zbytekm) do tvaru:\n",
    "$$\n",
    "Q_n (x) - P_n (x) = a_n (x-x_0)^n + a_{n-1}(x-x_0)^{n-1} + \\dots + a_1 (x-x_0) a_0\n",
    "$$\n",
    "Kde $a_i \\in \\mathbb{R}$. Zároveň nám aproximační vlastnost dává:\n",
    "$$\n",
    "\\lim_{x \\to x_0} \\frac{Q_n (x)-P_n (x)}{(x-x_0)^n} = \\lim_{x \\to x_0} \\frac{Q_n (x)-f (x)}{(x-x_0)^n} + \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f (x)- P_n (x)}{(x-x_0)^n}\n",
    "$$\n",
    "Proto musí být všechny koeficienty $a_i$ nulové a dostáváme $Q_n = P_n$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "66d8c8d2-a2f6-4e52-aa40-ba080a0ad930",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku Taylorova polynomu (6.8.10)\n",
    "Nechť $f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x_0 < x, n \\in \\mathbb{N}$ a $f$ má na $[x_0, x]$ spojitou n-tou derivaci a na $(x_0,x)$ má derivaci řádu $n+1$(nemusí být vlastní). Nechť $\\Phi: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ má v $(x_0,x)$ nenulovou vlastní derivaci a je spojitá na $[x_0,x]$. Pak existuje $\\xi \\in (x_0,x)$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "R_{n+1}(x) = \\frac{(x-\\xi)^n}{n!} \\frac{\\Phi (x) - \\Phi(x_0)}{\\Phi'(\\xi)} f^{n+1} (\\xi)\n",
    "$$\n",
    "Speciálně pro $\\Phi (t) = (x-t)^{n+1}$ platí:\n",
    "$$\n",
    "R_{n+1} = \\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\n",
    "$$\n",
    "(**Lagrangeův tvar zbytku**) a pro $\\Phi (t) = t$ platí:\n",
    "$$\n",
    "R_{n+1} (x) = \\frac{f^{(n+1)}(x_0 \\Theta(x-x_0))}{n!}(1-\\Theta)^n (x-x_0)^{n+1}; \\Theta = \\frac{\\xi - x_0}{x-x_0} \\in (0,1)\n",
    "$$\n",
    "(**Cauchyův tvar zbytku**).\n",
    "Pro případ $x< x_0$ platí obdobný výsledek, v němž všechny fomrule mají stejný tva jako výše až na zapis intervalů.\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Definujme pomocnou funkci:\n",
    "$$\n",
    "F(t) = f(x) - \\sum_{k=0} ^n \\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \\, na \\, [x,x_0] \n",
    "$$\n",
    "Máme:\n",
    "$$\n",
    "F(x) = f(x) - f(x) = 0 \\, a \\, F(x_0) = f(x) - P_n (x) = R_{n+1} (x)\n",
    "$$\n",
    "Dále na intervalu $(x_0)$ můžeme $F$ derivovat a dostáváme:\n",
    "$$\n",
    "F' = - \\frac{d}{dt} \\sum_{k=0}^n \\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k = - \\frac{f'(t)}{0!} (x-t)^0 - (\\frac{f''(t)}{0!}(x-t)^1 - \\frac{f'(t)}{1!}1(x-t)^0) - (\\frac{f'''(t)}{1!}(x-t)^2 - \\frac{f''(t)}{2!}2(x-t)^1) - ... - (\\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n - \\frac{f^n(t)}{(n-1)!}1(x-t)^{(n-1})) = - \\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\n",
    "$$\n",
    "Na základě předpokladů můžeme použít Cauchyovu větu o přírůstku funkce a dostáváme $\\xi \\in (x_0, x)$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "F(x_0) - F(x) = \\frac{F'(\\xi)}{\\Phi' (\\xi)} (\\Phi (x_0)- \\Phi(x)).\n",
    "$$\n",
    "Tedy:\n",
    "$$\n",
    "R_{n+1}(x) = \\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{n!} (x-\\xi)^n \\frac{\\Phi (x) \\Phi (x_0)}{\\Phi'(\\xi)}\n",
    "$$\n",
    "čímž jsme získali tvar zbytku pro obecný případ.\n",
    "Při volbě $\\Phi(t) = (x-t)^{n+1}$ dostáváme:\n",
    "$$\n",
    "\\frac{\\Phi(x)-\\Phi(x_0)}{\\Phi'(\\xi)} = \\frac{-(x-x_0)^{n+1}}{-(n+1)(x-\\xi)^n} = \\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)(x-\\xi)^n} \n",
    "$$\n",
    "a obecný tvar zbytku přechází na Lagrangeův tvar zbytku. Pokud $\\Phi(t) = t$ a $\\Theta = \\frac{\\xi - x_0}{x-x_0}$(tedy $\\xi = x_0 + \\Theta(x-x_0)$), dostáváme:\n",
    "$$\n",
    "R_{n+1}(x) = \\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{n!}(x-\\xi)^n (x-x_0) = \\frac{f^{(n+1)}(x_0 + \\Theta(x-x_0))}{n!}(x- x_0 - \\Theta(x-x_0))^n (x-x_0)\n",
    "$$\n",
    "Což je totéž jako Cauchyův tvar zbytku. $\\square$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d1dce024-3f1e-4395-8949-288e1326c7e6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Stejnoměrná spojitost fce na intervalu (Cantorova věta) (6.2.15)\n",
    "Nechť $f: [a,b] \\to \\mathbb{R}$ je spojitá na $[a,b]$. Pak je zde stejnoměrně spojitá.\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Nechť $f$ není stejnoměrně spojitá na $[a,b]$. Pak existuje $\\epsilon > 0$ takové, že k němu nenajdeme $\\delta > 0$ s vlastností z definice stejnoměrné spojitosti. Tedy pro každé $\\delta_n = \\frac{1}{n}$ existuje dvojice bodů $x_n, y_n \\in [a,b]$ splňující:\n",
    "$$\n",
    "|x_n - y_n| < \\frac{1}{n} \\;\\;\\; a \\;\\;\\; |f(x_n)-f(y_n)| \\geq \\epsilon \n",
    "$$\n",
    "Posloupnosti {$x_n$} a {$y_n$} jsou omezené. Dvojím přechodem k podposloupnosti (pomocí Weierstrasse 5.5.4) dostáváme:\n",
    "$$\n",
    "x_{n_k} \\to  x \\land y_{n_k} \\to x \n",
    "$$\n",
    "Ze spojitosti proto plyne, že:\n",
    "$$\n",
    "f(x_{n_k}) \\to f(x) \\leftarrow f(y_{n_k})\n",
    "$$\n",
    "Což je ve sporu s tím, že $|f(x_{n_k}) -f(y_{n_k})| \\geq \\epsilon$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4bc1b085-47b1-4c0e-815f-a7780249a42e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Spojitost monotónní funkce a R.i (7.3.5)\n",
    "Mějme monotónní $f:\\mathbb{R}\\to \\mathbb{R}$ spojitou na nějakém intervalu. Pak je zde riemannovsky integrovatelná.\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "f je stejnoměrně spojitá na tomto intervalu (Cantorova věta tuším). Všechny funkční hodnoty jsou stejně vzdálenné. Nyní užijeme podmínku existence Rieamannova integrálu. Pro $\\epsilon > 0$. Dělení $\\max_{j=1} (x_j-x_{j-1})$\n",
    "\n",
    "Ať je supremum a infimum jakékoliv, tak bude mezi nimi vždy stejně velká vzdálennost\n",
    "### Alternativní důkaz (z učebnice, ten předchozí byl braňův)\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "\\\n",
    "Zvolme $\\epsilon > 0$. Zafixujme $n \\in \\mathbb{N}$ a uvažme ekvvidistantní dělení $D = (x_j)^{n}_{j=0} = (a+(b-a)\\frac{j}{n})^{n}_{j=0}$. Pak:\n",
    "$$\n",
    "S(f,D) - s(f,D) = \\sum_{j=1}^{n} (\\sup_{[x_{j-1}, x_{j}]} f - \\inf_{[x_{j-1},x_{j}]} f)(x_j - x_{j-1}) = \\frac{b-a}{n} \\sum^{n}_{j=1}(\\sup_{[x_{j-1}, x_{j}]}) f - \\inf_{[x_{j-1},x_{j}]}) \\leq  \\frac{b-a}{n} \\sum^{n}_{j=1}\\sup_{x,y \\in [x_{j-1}, x_{j}]} (|f(x)-f(y)|) \\leq (b-a) (\\sup_{x,y \\in [x_{j-1}, x_{j}]\\leq \\frac{b-a}{n}})) |f(x)-f(y)|\n",
    "$$\n",
    "Podle Cantorovy věty o stejnoměrné spojitosti (6.2.15) je naše funkce stejnoměrně spojitá na $[a,b]$, odkud pro $n$ dostatečně velké máme, že poslední nerovnost je menší, než nějaké $\\epsilon$:\n",
    "$$\n",
    "\\sup_{x,y \\in [x_{j-1}, x_{j}]\\leq \\frac{b-a}{n}} |f(x)-f(y)| < \\epsilon \n",
    "$$\n",
    "Tedy $S(f,D) - s(f,D) < (b-a)\\epsilon$. Podle kritériea existence Reiamnnova integrálu je hotovo, vymalováno. \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "73767eb0-3fcf-4ce2-afc3-5ff9548da1b4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Hlavní věta diferenciálního a integrálního počtu (7.5.12)\n",
    "Nechť $f$ a $F$ jsou jako výše. Pak:\n",
    "\\\n",
    "(i) funkce $F$ je spojitá na $[a,b]$\n",
    "\\\n",
    "(ii) Je-li $f$ spojitá v $x_0 \\in (a,b)$, platí $F'(x_0) = f(x_0)$ (analogicky pro jednostrannou spojitost v krajních bodech a jednostranné derivace).\n",
    "\\\n",
    "Speciálně, je-li $f$ spojitá na $(a,b)$, pak $F'=f$ na $(a,b)$\n",
    "\n",
    "*Důkaz:*\n",
    "Dokažme nejprve první bod. Nechť $x_0 \\in [a,b)$ a $x \\in (x_0,b]$. Označme $L = \\sup_{[a,b]}|f|$. Pak \n",
    "$$\n",
    "|F(x)-F(x_0)| = |(R) \\int_{a}^{x}f dy - (R) \\int_{a}^{x_0} f dy| = |(R) \\int_{x_0}^{x}d dy| \\leq L(R)\\int_{x}^{x_0} dyy = L(x-x_0)\n",
    "$$\n",
    "Odtud nesnadno plyne spojitost v $x_0$ zprava. Spojitost zleva se dokazuje podobně. Dokažme (ii). Nechť $x_0 \\in [a,b)$ a $x \\in (x_0, b]$. Zvolme $\\epsilon > 0$. Pak díky spojitosti $f$ v $x_0$ zprava máme $\\delta>0$ takové, že:\n",
    "$$\n",
    "y \\in (x_0, x_0 + \\delta) => |f(y) - f(x_0)| < \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Dále platí:\n",
    "$$\n",
    "\\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \\frac{1}{x-x_0} ((R) \\int_a ^x f dy - (R) \\int_a ^{x_0}f dy) = \\frac{1}{x-x_0} (R) \\int_{x_0}^x f dy\n",
    "$$\n",
    "Odtud s využitím odhadu získaného ze spojitosti dostáváme pro $x \\in (x_0, x_0 + \\delta)$\n",
    "$$\n",
    "|\\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0)| = |\\frac{1}{x-x_0}(R) \\int_{x_0}^x (f(y)-f(x_0))dy| \\leq \\frac{1}{x-x_0}(R) \\int_{x_0} ^x |f(y)-f(x_0)| dy \\leq \\frac{1}{x-x_0} (R) \\int_{x_0}^x \\epsilon dy = \\epsilon\n",
    "$$\n",
    "Proto $F'_+ = f(x_0)$. Analogicky pro derivaci zleva."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "0f124a1f-e967-4961-8974-2977564d7f16",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Perpartes pro Riemannův integrál\n",
    "Nechť $f,g \\in C^{1}([a,b])$. Pak:\n",
    "$$\n",
    "(R) \\int_{a}^{b}f'g dx = [fg]_{a}^{b} - (R) \\int_{a}^{b}fg' dx \n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "id": "896d3304-a26e-4bbd-8904-c4d8f5c1117f",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}